ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 492]      



Задача 73662

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Для каждого натурального n обозначим через  s(n)  сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число m особым, если его нельзя представить в виде  m = n + s(n).  (Например, число 117 не особое, поскольку  117 = 108 + s(108),  а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?

Прислать комментарий     Решение

Задача 73771

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

а) Имеется 51 двузначное число. Докажите, что из этих чисел можно выбрать по крайней мере 6 чисел так, чтобы никакие два из выбранных чисел ни в одном разряде не имели одинаковой цифры.

б) Даны натуральные числа k и n, причём  1 < k < n.  Для какого наименьшего m верно следующее утверждение: при любой расстановке m ладей на доске размером n×n клеток можно выбрать k ладей из этих m так, чтобы никакие две из этих выбранных ладей не били друг друга?

Прислать комментарий     Решение

Задача 97986

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Арифметические действия. Числовые тождества ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Существует ли такое натуральное число M, что никакое натуральное число, десятичная запись которого состоит лишь из нулей и не более, чем 1988 единиц, не делится на M?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98247

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Логарифмические неравенства ]
[ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Приближения чисел ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Рассматривается последовательность, n-й член которой есть первая цифра числа 2n. Докажите, что количество различных "слов" длины 13 – наборов из 13 подряд идущих цифр – равно 57.

 
Прислать комментарий     Решение

Задача 107838

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
[ Последовательности (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Рассмотрим степени пятерки: 1, 5, 25, 125, 625, ... Образуем последовательность их первых цифр: 1, 5, 2, 1, 6, ...
Докажите, что любой кусок этой последовательности, записанный в обратном порядке, встретится в последовательности первых цифр степеней двойки  (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, ...).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 492]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .