ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]      



Задача 61034

Темы:   [ Симметрические многочлены ]
[ Кубические многочлены ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Производная и экстремумы ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Найдите все значения параметра a, при которых корни x1, x2, x3 многочлена  x3 – 6x2 + ax + a  удовлетворяют равенству
(x1 – 3)3 + (x2 – 3)3 + (x3 – 3)3 = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61035

Темы:   [ Симметрические многочлены ]
[ Кубические многочлены ]
[ Теорема Виета ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Постройте многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена  x3 + x2 – 2x – 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61036

Темы:   [ Симметрические многочлены ]
[ Теорема Виета ]
[ Кубические многочлены ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Известно, что x1, x2, x3 – корни уравнения  x3 – 2x2 + x + 1 = 0.
Составьте новое уравнение, корнями которого были бы числа  y1 = x2x3y2 = x1x3y3 = x1x2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61042

Темы:   [ Симметрические многочлены ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Известно, что целые числа a, b, c удовлетворяют равенству  a + b + c = 0.  Докажите, что  2a4 + 2b4 + 2c4  – квадрат целого числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61417

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Симметрические многочлены ]
Сложность: 3-
Классы: 10,11

  Определение. Пусть  α = (k, j, i)  – набор целых неотрицательных чисел,  k ≥ j ≥ i.  Через Tα(x, y, z) будем обозначать симметрический многочлен от трёх переменных, который есть по определению сумма одночленов вида xaybzc по всем шести перестановкам  (a, b, c)  набора  (k, j, i).
  Аналогично определяются многочлены Tα для произвольного количества переменных/чисел в наборе α.
  Запишите через многочлены вида Tα неравенства
  а)  x4y + y4x ≥ x³y² + x²y³;
  б)  x³yz + y³xz + z³xy ≥ x²y²z + y²z²x + z²x²y.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .