ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



Задача 109648

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Перестройки ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Произвольные многоугольники ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 5-
Классы: 10

Многоугольник можно разбить на 100 прямоугольников, но нельзя – на 99. Докажите, что его нельзя разбить на 100 треугольников.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109870

Темы:   [ Степень вершины ]
[ Перестройки ]
[ Раскраски ]
[ Инварианты ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Дужин С.В.

Улицы города Дужинска – простые ломаные, не пересекающиеся между собой во внутренних точках. Каждая улица соединяет два перекрёстка и покрашена в один из трёх цветов: белый, красный или синий. На каждом перекрёстке сходятся ровно три улицы, по одной каждого цвета. Перекрёсток называется положительным, если при его обходе против часовой стрелки цвета улиц идут в следующем порядке: белый, синий, красный, и отрицательным в противном случае. Докажите, что разность между числом положительных и числом отрицательных перекрёстков кратна 4.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107728

Темы:   [ Вписанные многогранники ]
[ Выпуклые тела ]
[ Перестройки ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Многогранник вписан в сферу. Может ли оказаться, что этот многогранник невыпуклый? (Многогранник вписан в сферу, если все концы его рёбер лежат на сфере.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 109782

Темы:   [ Деревья ]
[ Полуинварианты ]
[ Перестройки ]
[ Неравенство Коши ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Дано дерево с n вершинами,  n ≥ 2.  В его вершинах расставлены числа x1, x2, xn, а на каждом ребре записано произведение чисел, стоящих в концах этого ребра. Обозначим через S сумму чисел на всех рёбрах. Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 111833

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Степень вершины ]
[ Перестройки ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

В стране есть N городов. Некоторые пары из них соединены беспосадочными двусторонними авиалиниями. Оказалось, что для любого k  (2 ≤ k ≤ N)  при любом выборе k городов количество авиалиний между этими городами не будет превосходить  2k – 2.  Докажите, что все авиалинии можно распределить между двумя авиакомпаниями так, что не будет замкнутого авиамаршрута, в котором все авиалинии принадлежат одной компании.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .