Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике ABC проведены высоты AH₁, BH₂ и CH₃. Точка M – середина отрезка H₂H₃. Прямая AM пересекает отрезок H₂H₁ в точке K.
Докажите, что точка K принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной AC.

   Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 194]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66780

Темы:   [ Экстремальные свойства треугольника (прочее) ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Пусть $A_1A_2A_3$ – остроугольный треугольник, радиус описанной окружности равен $1$, $O$ – ее центр. Из вершин $A_i$ проведены чевианы через $O$ до пересечения с противолежащими сторонами в точках $B_i$ соответственно $(i=1, 2, 3)$.

(а) Из трех отрезков $B_iO$ выберем самый длинный. Какова его наименьшая возможная длина?

(б) Из трех отрезков $B_iO$ выберем самый короткий. Какова его наибольшая возможная длина?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64478

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Симметрия относительно плоскости ] [ Поворот и винтовое движение ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Выпуклые многогранники A и B не имеют общих точек. Многогранник A имеет ровно 2012 плоскостей симметрии. Каково наибольшее возможное количество плоскостей симметрии у фигуры, состоящей из A и B, если B имеет
  а) 2012,
  б) 2013 плоскостей симметрии?
  в) Каков будет ответ в пункте б), если плоскости симметрии заменить на оси симметрии?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64867

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В треугольник вписан квадрат (две вершины на одной стороне и по одной на остальных). Докажите, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри квадрата.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64878

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Теорема синусов ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

В неравнобедренном треугольнике ABC высота из вершины A, биссектриса из вершины B и медиана из вершины C пересекаются в одной точке K.
  а) Какая из сторон треугольника средняя по величине?
  б) Какой из отрезков AK, BK, CK средний по величине?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64912

Темы:   [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Малые шевеления ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В выпуклом четырёхугольнике все стороны и все углы попарно различны.
  а) Может ли наибольший угол примыкать к наибольшей стороне, и при этом наименьший – к наименьшей?
  б) Может ли наибольший угол не примыкать к наименьшей стороне, и при этом наименьший не примыкать к наибольшей?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 194]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями