Версия для печати
Убрать все задачи

---

Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями  d₁, d₂, d₃, ... .  Может ли случиться, что при этом сумма   ¹/_d1 + ¹/_d2 + ... + ¹/_dk   не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
  а) общее число прогрессий конечно;
  б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).

   Решение

---

В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.

   Решение

---

Трапеция ABCD и параллелограмм MBDK расположены так, что стороны параллелограмма параллельны диагоналям трапеции (см. рис.). Докажите, что площадь серой части равна сумме площадей черных частей.

   Решение

---

Углы треугольника ABC связаны соотношением  3α + 2β = 180°. Докажите, что  a² + bc = c².

   Решение

---

На столе лежит картонный круг радиуса 5 см. Петя, пока возможно, прикладывает к кругу снаружи картонные квадраты со стороной 5 см так, чтобы выполнялись условия:
  1) у каждого квадрата одна вершина лежит на границе круга;
  2) квадраты не пересекаются;
  3) каждый следующий квадрат касается предыдущего вершиной к вершине.
Определите, сколько квадратов может выложить Петя, и докажите, что последний и первый квадрат тоже коснутся вершинами.

   Решение

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 323]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111910

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Инварианты ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Двое играющих по очереди пишут – каждый на своей половине доски – по одному натуральному числу (повторения разрешаются) так, чтобы сумма всех чисел на доске не превосходила 10000. После того, как сумма всех чисел на доске становится равной 10000, игра заканчивается подсчетом суммы всех цифр на каждой половине. Выигрывает тот, на чьей половине сумма цифр меньше (при равных суммах – ничья). Может ли кто-нибудь из игроков выиграть, как бы ни играл противник?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116693

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Индукция (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 10

По кругу разложено чётное количество груш. Массы любых двух соседних отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши объединить в пары и разложить по кругу таким образом, чтобы массы любых двух соседних пар тоже отличались не более чем на 1 г.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67514

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

В стране, валюта которой — тугрики, ходят только купюры двух целочисленных достоинств. И покупатель, и продавец имеют достаточно много и тех, и других купюр, но при каждом платеже могут использовать вместе не более $k$ купюр (включая сдачу). Известно, что так можно сделать платёж на любую целую сумму от 1 до $n$ тугриков. Каково наибольшее возможное $n$ (в зависимости от $k$)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109879

Темы:   [ Системы точек ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Назовем медианой системы 2 n точек плоскости прямую, проходящую ровно через две из них, по обе стороны от которой точек этой системы поровну. Какое наименьшее количество медиан может быть у системы из 2 n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107627

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Полуинварианты ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Плоскость, разрезанная прямыми ]

Сложность: 5- Классы: 6,7,8,9,10,11

Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 323]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями