Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть  a₁, ..., a₁₀  – различные натуральные числа, не меньшие 3, сумма которых равна 678. Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа n на 20 чисел  a₁, a₂, ..., a₁₀, 2a₁, 2a₂,..., 2a₁₀  равняться 2012?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64710

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Две пары подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В прямоугольнике ABCD точка M – середина стороны CD. Через точку C провели прямую, перпендикулярную прямой BM, а через точку M – прямую, перпендикулярную диагонали BD. Докажите, что два проведённых перпендикуляра пересекаются на прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65233

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

В треугольнике ABC  M – середина стороны BC, P – точка пересечения касательных в точках B и C к описанной окружности, N – середина отрезка MP. Отрезок AN пересекает описанную окружность в точке Q. Докажите, что ∠PMQ = ∠MAQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66318

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Средняя линия треугольника ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB', CC'. Через A и C' проведены две окружности, касающиеся BC в точках P и Q.
Докажите, что точки A, B', P, Q лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64858

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Прямая Симсона ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Дан фиксированный треугольник ABC. Пусть D – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в D, проходящая через A, пересекает вторично прямые AB и AC в точках A_b и A_c соответственно. Аналогично определяются точки B_a, B_c, C_a и C_b. Точку D назовём хорошей, если точки A_b, A_c, B_a, B_c, C_a и C_b лежат на одной окружности.
Сколько может оказаться точек, хороших для данного треугольника ABC?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями