Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]

Задача 65198

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
Темы:	[	Средние величины	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Авторы: Блинков А.Д., Заславский А.А., Антропов А.

В турнире по футболу участвует 2n команд (n > 1). В каждом туре команды разбиваются на n пар и команды в каждой паре играют между собой. Так провели 2n – 1 тур, по окончании которых каждая команда сыграла с каждой ровно один раз. За победу давалось 3 очка, за ничью – 1, за поражение – 0 очков. Оказалось, что для каждой команды отношение набранных ею очков к количеству сыгранных ею игр после последнего тура не изменилось. Докажите, что все команды сыграли вничью все партии.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65099

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Антропов А.

Какое наибольшее количество белых и чёрных пешек можно расставить на клетчатой доске 9×9 (пешку, независимо от её цвета, можно ставить на любую клетку доски) так, чтобы никакая из них не била никакую другую (в том числе и своего цвета)? Белая пешка бьёт две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с бóльшим номером, а чёрная – две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с меньшим номером (см. рисунок).

Прислать комментарий

Решение

Задача 66767

Темы:	[	Внутренность и внешность. Лемма Жордана	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Антропов А.

В игре Тантрикс-солитер возможны фишки 14 типов:

Каждую из них можно поворачивать, но нельзя переворачивать: именно поэтому первые 2 фишки разные – их нельзя получить друг из друга поворотом. Их разрешается прикладывать друг к другу так, чтобы линии одного цвета были продолжениями друг друга. У Саши было по одной фишке каждого типа, и он мог выложить их так, чтобы все синие линии образовывали «петлю», и при этом чтобы в картинке не было «дырок»:

Саша потерял фишку . Докажите, что теперь он не сможет выложить оставшиеся 13 фишек так, чтобы в картинке не было «дырок», а все синие линии образовывали петлю.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65367

Темы:	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Антропов А., Якубов А.

На сторонах AB, AC треугольника ABC взяли такие точки C₁, B₁ соответственно, что BB₁ ⊥ CC₁. Точка X внутри треугольника такова, что
∠XBC = ∠B₁BA, ∠XCB = ∠C₁CA. Докажите, что ∠B₁XC₁ = 90° – ∠A.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65245

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Антропов А.

Обозначим через S(k) сумму цифр натурального числа k. Натуральное число a назовём n-хорошим, если существует такая последовательность натуральных чисел a₀, a₁, ..., a_n, что a_n = a и a_i+1 = a_i – S(a_i) при всех i = 0, 1, ..., n – 1. Верно ли, что для любого натурального n существует натуральное число, являющееся n-хорошим, но не являющееся (n+1)-хорошим?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 15]