Петя и Вася независимо друг от друга разбивают белую клетчатую доску $100\times 100$ на произвольные группы клеток, каждая из чётного (но не обязательно все из одинакового) числа клеток, каждый  – на свой набор групп. Верно ли, что после этого всегда можно покрасить по половине клеток в каждой группе из разбиения Пети в чёрный цвет так, чтобы в каждой группе из разбиения Васи было поровну чёрных и белых клеток?

   Решение

В корзине лежат 30 грибов – рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

   Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]      

В остроугольном треугольнике ABC, в котором  ∠A = 45°,  проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁. Биссектриса угла BAA₁ пересекает прямую B₁A₁ в точке D, а биссектриса угла CAA₁ пересекает прямую C₁A₁ в точке E. Найдите угол между прямыми BD и CE.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведена высота AH. На сторонах AC и AB отмечены точки B₁ и C₁ соответственно, так, что HA – биссектриса угла B₁HC₁ и четырёхугольник BC₁B₁C – вписанный. Докажите, что B₁ и C₁ – основания высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC медианы AM_A, BM_B и CM_C пересекаются в точке M. Построим окружность Ω_A, проходящую через середину отрезка AM и касающуюся отрезка BC в точке MA. Аналогично строятся окружности Ω_B и Ω_C. Докажите, что окружности Ω_A, Ω_B и Ω_C имеют общую точку.

Прислать комментарий

Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω с центром O, M₁ и M₂ – середины сторон AB и CD соответственно; Ω – описанная окружность треугольника OM₁M₂,  X₁ и X₂ – точки пересечения ω с Ω, а Y₁ и Y₂ – вторые точки пересечения описанных окружностей ω₁ и ω₂ треугольников CDM₁ и ABM₂ соответственно с Ω. Докажите, что  X₁X₂ || Y₁Y₂.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB, AC треугольника ABC взяли такие точки C₁, B₁ соответственно, что  BB₁ ⊥ CC₁.  Точка X внутри треугольника такова, что
∠XBC = ∠B₁BA,  ∠XCB = ∠C₁CA.  Докажите, что  ∠B₁XC₁ = 90° – ∠A.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 >> [Всего задач: 12]