Дан фиксированный треугольник ABC. По его описанной окружности движется точка P так, что хорды BC и AP пересекаются. Прямая AP разрезает треугольник BPC на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через I₁ и I₂ соответственно. Прямая I₁I₂ пересекает прямую BC в точке Z. Докажите, что все прямые ZP проходят через фиксированную точку.

   Решение

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠B = 90°),  касается сторон AB, BC, CA в точках C₁, A₁, B₁ соответственно. A₂, C₂ – точки, симметричные точке B₁ относительно прямых BC, AB соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂, C₁C₂ пересекаются на медиане треугольника ABC.

   Решение

Для какого наибольшего n можно придумать две бесконечные в обе стороны последовательности A и B такие, что любой кусок последовательности B длиной n содержится в A, A имеет период 1995, а B этим свойством не обладает (непериодична или имеет период другой длины)?

   Решение

В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки I_b и I_c – центры вписанных окружностей треугольников ABH и CAH; L – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Найдите угол LI_bI_c.

   Решение

Из квадрата 5×5 вырезали центральную клетку. Разрежьте получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть куб 2×2×2.

   Решение

Даны непостоянные многочлены P(x) и Q(x), у которых старшие коэффициенты равны 1.
Докажите, что сумма квадратов коэффициентов многочлена P(x)Q(x) не меньше суммы квадратов свободных членов P(x) и Q(x).

   Решение

Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что их сумма равна их наименьшему общему кратному?
(Среди чисел могут быть равные.)

   Решение

Пусть M_A, M_B, M_C – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки H_A, H_B, H_C, отличные от M_A, M_B, M_C, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что  M_AH_B = M_AH_C,  M_BH_A = M_BH_C,  M_CH_A = M_CH_B.  Докажите, что H_A, H_B, H_C – основания высот треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 12]      

Дан фиксированный треугольник ABC. По его описанной окружности движется точка P так, что хорды BC и AP пересекаются. Прямая AP разрезает треугольник BPC на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через I₁ и I₂ соответственно. Прямая I₁I₂ пересекает прямую BC в точке Z. Докажите, что все прямые ZP проходят через фиксированную точку.

Прислать комментарий

Решение

Пусть M_A, M_B, M_C – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки H_A, H_B, H_C, отличные от M_A, M_B, M_C, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что  M_AH_B = M_AH_C,  M_BH_A = M_BH_C,  M_CH_A = M_CH_B.  Докажите, что H_A, H_B, H_C – основания высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 [Всего задач: 12]