Все авторы
>>
Сендеров В.А. 
Валерий Анатольевич Сендеров (1945 - 2014 гг.) - математик, педагог, с 70-х годов - постоянный участник проведения московских и российских математических олимпиад. Автор нескольких десятков научных статей в отечественных и зарубежных изданиях, научно-популярных работ в журнале Квант.
Фильтр
Выбрано 11 задач Убрать все задачи
Докажите, что произведение всех целых чисел от 21917 + 1 до 21991 – 1 включительно не есть квадрат целого числа.
Решите уравнение 3x + 5y = 7 в целых числах.
Целые числа a, x1, x2, ..., x13 таковы, что a = (1 + x1)(1 + x2)...(1 + x13) = (1 – x1)(1 – x2)...(1 – x13). Докажите, что ax1x2...x13 = 0.
На окружности взяты точки
A, C1, B, A1, C, B1 в
указанном порядке.
а) Докажите, что если прямые AA1, BB1 и CC1 являются
биссектрисами углов треугольника ABC, то они являются
высотами треугольника A1B1C1.
б) Докажите, что если прямые AA1, BB1 и CC1 являются
высотами треугольника ABC, то они являются биссектрисами
углов треугольника A1B1C1.
Докажите, что число 40...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с 1).
а) Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC
в точке D, DM — ее диаметр. Прямая BM
пересекает сторону AC в точке K. Докажите, что AK = DC.
б) В окружности проведены перпендикулярные диаметры
AB и CD. Из точки M, лежащей вне окружности, проведены
касательные к окружности, пересекающие прямую AB в точках E
и H, а также прямые MC и MD, пересекающие прямую
AB в точках F и K. Докажите, что EF = KH.
В прямоугольнике проведена ломаная, соседние звенья которой перпендикулярны и равны меньшей стороне прямоугольника (см. рис).
Найдите отношение сторон прямоугольника.
Незнайка не знает о существовании операций умножения и возведения в степень. Однако он хорошо освоил сложение, вычитание, деление и извлечение квадратного корня, а также умеет пользоваться скобками. Упражняясь, Незнайка выбрал три числа 20, 2 и 2 и составил выражение $\sqrt{(2+20):2}$. А может ли он, используя точно те же три числа 20, 2 и 2, составить выражение, значение которого больше 30?
На кошачьей выставке каждый посетитель погладил ровно трех кошек. При этом оказалось, что каждую кошку погладили ровно три посетителя.
Докажите, что посетителей было ровно столько же, сколько кошек.Существует ли такое натуральное n, что для любых ненулевых цифр a и b число anb делится на ab ? (Через x...y обозначено число, получаемое приписыванием друг к другу десятичных записей чисел x, ..., y.)
Докажите, что число вида a0...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с одного; a – цифра, отличная от 0).
Все задачи автора Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 90]
Задача 98263 |
|
|
Докажите, что число вида a0...09 – не полный квадрат (при любом числе нулей, начиная с одного; a – цифра, отличная от 0).
|
|
Решение |
Задача 98282 |
|
|
а) Существуют ли четыре таких различных натуральных числа, что
сумма каждых трёх из них есть простое число?
б) Существуют ли пять таких различных натуральных чисел, что сумма
каждых трёх из них есть простое число?
|
|
Решение |
Задача 98445 |
|
|
Рассматриваются тройки целых чисел a, b и c, для которых выполнено условие: a + b + c = 0. Для каждой такой тройки вычисляется число
d = a1999 + b1999 + c1999.
Может ли случиться, что
а) d = 2?
б) d – простое число?
|
|
|
Решение |
Задача 98450 |
|
|
Докажите, что существует бесконечно много нечётных n, для которых число 2n + n – составное.
|
|
|
Решение |
Задача 98497 |
|
|
Натуральные числа a, b, c, d таковы, что наименьшее общее кратное этих
чисел равно a + b + c + d.
Докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 90]
