Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

После урока на доске остался график функции  y = k/x  и пять прямых, параллельных прямой  y = kx  (k ≠ 0).
Найдите произведение абсцисс всех десяти точек пересечения.

Вниз   Решение


На сторонах AC и BC треугольника ABC отметили точки P и Q соответственно. Оказалось, что AB=AP=BQ=1 , а точка пересечения отрезков AQ и BP лежит на вписанной окружности треугольника ABC . Найдите периметр треугольника ABC .

ВверхВниз   Решение


Решите уравнения при 0o < x < 90o:

a) $ \sqrt{13-12\cos x}$ + $ \sqrt{7-4\sqrt3\sin x}$ = 2$ \sqrt{3}$;

б) $ \sqrt{2-2\cos x}$ + $ \sqrt{10-6\cos x}$ = $ \sqrt{10-6\cos 2x}$;

в) $ \sqrt{5-4\cos x}$ + $ \sqrt{13-12\sin
x}$ = $ \sqrt{10}$.

ВверхВниз   Решение


Пусть x, y, z – положительные числа и  xyz(x + y + z) = 1.  Найдите наименьшее значение выражения  (x + y)(x + z).

ВверхВниз   Решение


Точка D – середина основания AC равнобедренного треугольника ABC . Точка E – основание перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC . Отрезки AE и BD пересекаются в точке F . Установите, какой из отрезков BF и BE длиннее.

ВверхВниз   Решение


Окружность с центром D проходит через вершины A, B и центр O вневписанной окружности треугольника ABC , касающейся его стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение


Неотрицательные числа x, y, z удовлетворяют неравенствам  5 ≤ x, y, z ≤ 8.
Какое наибольшее и наименьшее значение может принимать величина  S = 2x²y² + 2x²z² + 2y²z² – x4y4z4 ?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      



Задача 57010

Тема:   [ Описанные четырехугольники ]
Сложность: 2+
Классы: 8,9

Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O. Докажите, что  $ \angle$AOB + $ \angle$COD = 180o.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57009

Тема:   [ Описанные четырехугольники ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что если центр вписанной в четырехугольник окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей, то этот четырехугольник — ромб.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57011

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что если существует окружность, касающаяся всех сторон выпуклого четырехугольника ABCD, и окружность, касающаяся продолжений всех его сторон, то диагонали такого четырехугольника перпендикулярны.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57012

Тема:   [ Описанные четырехугольники ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Окружность высекает на всех четырех сторонах четырехугольника равные хорды. Докажите, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.
Прислать комментарий     Решение


Задача 55451

 [Теорема Ньютона.]
Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что во всяком описанном четырёхугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности расположены на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .