Версия для печати
Убрать все задачи

---

  В некотором государстве ценятся золотой и платиновый песок. Золото можно менять на платину, а платину на золото по курсу, который определяется натуральными числами g и p так: x граммов золотого песка равноценны y граммам платинового, если  xp = yg  (числа x и y могут быть нецелыми). Сейчас у банкира есть по килограмму золотого и платинового песка, а  g = p = 1001.  Государство обещает каждый день уменьшать одно из чисел g и p на единицу, так что через 2000 дней они оба станут единицами; но последовательность уменьшений неизвестна. Может ли банкир каждый день менять песок так, чтобы в конце гарантированно получить хотя бы по 2 кг каждого песка?

   Решение

---

Доказать, что  43²³ + 23⁴³  делится на 66.

   Решение

---

Доказать, что если  a² + b²  делится на 7, то и ab делится на 7.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 40]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98174

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Найти все такие числа вида 2ⁿ (n натурально), что при вычёркивании первой цифры их десятичной записи снова получится степень двойки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98176

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Рассматривается числовой треугольник:

(первая строчка задана, а каждый элемент остальных строчек вычисляется как разность двух элементов, которые стоят над ним). В 1993-й строчке – один элемент. Найдите его.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98182

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Итерации ] [ Разрывы функций ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Существует ли кусочно-линейная функция f, определённая на отрезке  [–1, 1]  (включая концы), для которой  f(f(x))= – x  при всех x?
(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107985

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Инварианты ] [ Биссектриса угла ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Бумажный треугольник с углами 20°, 20°, 140° разрезается по одной из своих биссектрис на два треугольника, один из которых также разрезается по биссектрисе, и так далее. Может ли после нескольких разрезов получиться треугольник, подобный исходному?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108059

Темы:   [ Перенос помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На каждой стороне параллелограмма выбрано по точке (выбранные точки отличны от вершин параллелограмма). Точки, лежащие на соседних (имеющих общую вершину) сторонах, соединены отрезками. Докажите, что центры описанных окружностей четырёх получившихся треугольников – вершины параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 40]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями