Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]
Задача
52519
(#М256)
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9
|
Около окружности описан многоугольник. Точки касания его сторон с окружностью служат вершинами второго, вписанного в эту окружность многоугольника. Докажите, что произведение расстояний от произвольной точки M окружности до сторон (или их продолжений) одного многоугольника равно произведению расстояний от этой точки до сторон (или их продолжений) второго.
Задача
73792
(#М257)
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
При каких натуральных n ≥ 2 неравенство 
выполняется для любых действительных чисел x1, x2, ..., xn, если
а) p = 1;
б) p = 4/3;
в) p = 6/5?
Задача
73794
(#М259)
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Назовём квартетом четвёрку клеток на клетчатой бумаге, центры которых лежат в вершинах прямоугольника со сторонами, параллельными линиям сетки. (Например, на рисунке нарисованы три квартета.) Какое наибольшее число квартетов можно разместить в
а) квадрате 5×5;
б) прямоугольнике m×n клеток?
Задача
73795
(#М260)
|
|
Сложность: 7-
Классы: 8,9,10
|
Окружность разбита точками
A1,
A2,...,
An на
n равных дуг, каждая из которых окрашена в какой-то цвет. Две дуги окружности (с концами в точках разбиения) называем одинаково окрашенными, если при некотором повороте окружности одна из них полностью, включая цвета всех дуг, совпадает с другой. (Например, на рисунке дуги
A2A6 и
A6A10 одинаково окрашены.)
Докажите, что если для каждой точки разбиения Ak можно указать две непересекающиеся одинаково окрашенные дуги с общим концом Ak, то всю окружность можно разбить на несколько одинаково окрашенных дуг, то есть окраска периодическая. Рассмотрите сначала случай, когда красок всего две, скажем красная и чёрная.
Задача
73797
(#М262)
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Какое наибольшее количество а) ладей; б) ферзей можно расставить на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждая из этих фигур была под ударом не более чем одной из остальных?
Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]
Фильтр
