Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]

Задача 109543 (#93.4.9.1)

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Выделение полного квадрата. Суммы квадратов	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство a² + ab + b² ≥ 3(a + b – 1).

Прислать комментарий

Решение

Задача 109544 (#93.4.9.2)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Признаки делимости на 11	]
	[	Метод спуска	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Женодаров Р.Г.

Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, кратное 11.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108229 (#93.4.9.3)

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Кукушкин Б.Н.

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причём AO = CO. Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если а) AM = CN; б) BM = BN?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109546 (#93.4.9.4)

Темы:	[	Процессы и операции	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Карпов Д.В.

В колоде n карт. Часть из них лежит рубашками вверх, остальные – рубашками вниз. За один ход разрешается взять несколько карт сверху, перевернуть полученную стопку и снова положить ее сверху колоды. За какое наименьшее число ходов при любом начальном расположении карт можно добиться того, чтобы все карты лежали рубашками вниз?

Прислать комментарий Решение

Задача 109547 (#93.4.9.5)

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Калинин А.

Докажите, что уравнение x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1) не имеет решений в целых числах.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]