Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В прямой угол вписана окружность. Хорда, соединяющая точки касания, равна 2. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

Вниз   Решение


Пусть  P(x) = anxn + ... + a1x + a0  – многочлен с целыми коэффициентами.
Докажите, что хотя бы одно из чисел  |3n+1P(n + 1)|,  ...,  |31P(1)|,  |1 – P(0)|  не меньше 1.

ВверхВниз   Решение


На прямой отмечено 45 точек, лежащих вне отрезка AB. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки A не равна сумме расстояний от этих точек до точки B.

ВверхВниз   Решение


Найдите самое маленькое k, при котором k! делится на 2040.

ВверхВниз   Решение


Пусть a, b и c – три различных числа. Решите систему    

ВверхВниз   Решение


Автор: Рубин А.

Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C – последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?

ВверхВниз   Решение


В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      



Задача 110186  (#05.4.9.3)

Темы:   [ Свойства разверток ]
[ Симметричная стратегия ]
[ Куб ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Двое игроков по очереди расставляют в каждой из 24 клеток поверхности куба 2×2×2 числа 1, 2, 3, 24 (каждое число можно ставить один раз). Второй игрок хочет, чтобы суммы чисел в клетках каждого кольца из 8 клеток, опоясывающего куб, были одинаковыми. Сможет ли первый игрок ему помешать?
Прислать комментарий     Решение


Задача 110187  (#05.4.9.4)

Темы:   [ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Диаметр, основные свойства ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В треугольнике ABC  ( AB < BC)  точка I – центр вписанной окружности, M – середина стороны AC, N – середина дуги ABC описанной окружности.
Докажите, что  ∠IMA = ∠INB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110195  (#05.4.9.5)

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Известно, что сумма цифр натурального числа N равна 100, а сумма цифр числа 5N равна 50. Докажите, что N чётно.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110188  (#05.4.9.6)

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Трапеции (прочее) ]
[ Признаки подобия ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Каждую вершину трапеции отразили симметрично относительно диагонали, не содержащей эту вершину.
Докажите, что если получившиеся точки образуют четырёхугольник, то он также является трапецией.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110189  (#05.4.9.7)

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Существует ли такая бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия {an} из натуральных чисел, что произведение an...an+9 делится на сумму
an +... + an+9  при любом натуральном n?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 32]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .