Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то проекции точки пересечения диагоналей на стороны являются вершинами вписанного четырехугольника.

Вниз   Решение


Диагональ AC разбивает четырехугольник ABCD на два треугольника, вписанные окружности которых касаются диагонали AC в одной точке. Докажите, что вписанные окружности треугольников ABD и BCD тоже касаются диагонали BD в одной точке, а точки их касания со сторонами четырехугольника лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение


Две касающиеся окружности с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O. Найдите периметр треугольника OO1O2.

ВверхВниз   Решение


Окружности S1 и S2 касаются окружности S внутренним образом в точках A и B, причем одна из точек пересечения окружностей S1 и S2 лежит на отрезке AB. Докажите, что сумма радиусов окружностей S1 и S2 равна радиусу окружности S.

ВверхВниз   Решение


Радиусы окружностей S1 и S2, касающихся в точке A, равны R и r (R > r). Найдите длину касательной, проведенной к окружности S2 из точки B окружности S1, если известно, что AB = a. (Разберите случаи внутреннего и внешнего касания.)

ВверхВниз   Решение


Угол между сторонами AB и CD четырехугольника ABCD равен $ \varphi$. Докажите, что  AD2 = AB2 + BC2 + CD2 - 2(AB . BC cos B + BC . CD cos C + CD . AB cos$ \varphi$).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что проекции точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны являются вершинами описанного четырехугольника, если только они не попадают на продолжения сторон.

ВверхВниз   Решение


Три окружности S1, S2 и S3 попарно касаются друг друга в трех различных точках. Докажите, что прямые, соединяющие точку касания окружностей S1 и S2 с двумя другими точками касания, пересекают окружность S3 в точках, являющихся концами ее диаметра.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 101]      



Задача 57235  (#08.041)

Тема:   [ Треугольник (построения) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Дан треугольник ABC, причем AB < BC. Постройте на стороне AC точку D так, чтобы периметр треугольника ABD был равен длине стороны BC.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57236  (#08.042)

Тема:   [ Треугольник (построения) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Постройте треугольник ABC по радиусу описанной окружности и биссектрисе угла A, если известно, что разность углов B и C равна  90o.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57237  (#08.043)

Тема:   [ Треугольник (построения) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

На стороне AB треугольника ABC дана точка P. Проведите через точку P прямую (отличную от AB), пересекающую лучи CA и CB в таких точках M и N, что AM = BN.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57238  (#08.044)

Тема:   [ Треугольник (построения) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9

Постройте треугольник ABC по радиусу вписанной окружности r и (ненулевым) длинам отрезков AO и AH, где O — центр вписанной окружности, H — ортоцентр.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57239  (#08.045B-)

Тема:   [ Четырехугольники (построения) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Постройте квадрат, три вершины которого лежат на трёх данных параллельных прямых.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 101]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .