Версия для печати
Убрать все задачи

---

С натуральным числом K производится следующая операция: оно представляется в виде произведения простых сомножителей  K = p₁p₂...p_n;  затем вычисляется сумма  p₁ + p₂ + ... + p_n + 1.  С полученным числом производится то же самое, и т.д.
Доказать, что образующаяся последовательность, начиная с некоторого номера, будет периодической.

   Решение

---

Назовём натуральное число хорошим, если среди его делителей есть ровно два простых числа.
Могут ли 18 подряд идущих натуральных чисел быть хорошими?

   Решение

---

На плоскости дано 400 точек. Докажите, что различных расстояний между ними не менее 15.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111826  (#07.5.11.1)

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Тригонометрические неравенства ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Докажите, что при k>10 в произведении

f(x) = cos x cos 2x cos 3x .. cos 2^k x
можно заменить один cos на sin так, что получится функция f₁(x) , удовлетворяющая при всех действительных x неравенству |f₁(x)| .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111827  (#07.5.11.2)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, AC, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Отрезок AA₁ вторично пересекает вписанную окружность в точке Q. Прямая l параллельна BC и проходит через A. Прямые A₁C₁ и A₁B₁ пересекают l в точках P и R соответственно. Докажите, что  ∠PQR = ∠B₁QC₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111837  (#07.5.11.3)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Деление с остатком ] [ Правило произведения ] [ Кооперативные алгоритмы ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Фокусник с помощником собираются показать такой фокус. Зритель пишет на доске последовательность из N цифр. Помощник фокусника закрывает две соседних цифры чёрным кружком. Затем входит фокусник. Его задача – отгадать обе закрытые цифры (и порядок, в котором они расположены). При каком наименьшем N фокусник может договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111829  (#07.5.11.4)

Темы:   [ Метод спуска ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Обыкновенные дроби ] [ Рекуррентные соотношения ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

В бесконечной последовательности  (x_n)  первый член x₁ – рациональное число, большее 1, и  x_n+1 = x_n + ¹/_[xn]  при всех натуральных n.
Докажите, что в этой последовательности есть целое число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111846  (#07.5.11.5)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В каждой вершине выпуклого 100-угольника написано по два различных числа. Докажите, что можно вычеркнуть по одному числу в каждой вершине так, чтобы оставшиеся числа в каждых двух соседних вершинах были различными.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями