Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]

Задача 115902 (#9.6)

Темы:	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Акопян А.В.

В треугольнике ABC AB – BC = . Пусть M – середина стороны AC, а BN – биссектриса. Докажите, что ∠BMC + ∠BNC = 90°.

Решение

Пусть C' – точка, симметричная C относительно BN. Тогда AC' = AB – BC, и по условию AM : AC' = AC' : AC. Значит, треугольники AC'M и ACC' подобны, и ∠AC'M = ∠C'CA = 90° – ∠BNC (см. рис.). Применяя формулу для длины медианы (см. задачу 57592 а), получаем, что BM² = AB·BC, то есть BC' : BM = BM : BA. Поэтому треугольники BC'M и BMA также подобны, и ∠BMC' = ∠BAM. Следовательно,
∠BMC = 180° – ∠BAM – ∠C'MA = ∠AC'M = 90° – ∠BNC.

Прислать комментарий

Задача 115903 (#9.7)

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Окружности (построения)	]
	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Волчкевич М.А.

Даны две пересекающиеся окружности с центрами O₁, O₂. Постройте окружность, касающуюся одной из них внешним, а другой внутренним образом, центр которой удален от прямой O₁O₂ на наибольшее расстояние.

Решение

Пусть O, r – центр и радиус некоторой окружности, касающейся данных; r₁, r₂ – радиусы данных окружностей. Тогда либо OO₁ = r₁ – r, OO₂ = r₂ + r, либо OO₁ = r₁ + r, OO₂ = r₂ – r, и в обоих случаях OO₁ + OO₂ = r₁ + r₂. Следовательно, среди всех точек, удовлетворяющих этому условию, надо найти наиболее удалённую от прямой O₁O₂. Наибольшую высоту среди всех треугольников с данными одной стороной и суммой двух других имеет равнобедренный (см. решение задачи 55613). Отсюда получаем, что центр искомой окружности лежит на равных расстояниях ½ (r₁ + r₂) от точек O₁ и O₂, а её радиус равен ½ |r₁ – r₂|.

Прислать комментарий

Задача 115904 (#9.8)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Окружности, вписанные в сегмент	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Pohoata C., Заславский А.А.

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Известно, что четыре окружности, каждая из которых касается его диагоналей и описанной окружности изнутри, равны. Верно ли, что ABCD – квадрат?

Решение

Пусть P – точка пересечения диагоналей, а окружности, вписанные в криволинейные треугольники ABP, BCP, CDP, DAP, касаются описанной окружности четырёхугольника ABCD в точках K, L, M, N.
Рассмотрим сегмент ABC. Когда точка X движется по дуге ABC от A к C, радиус окружности, вписанной в сегмент и касающейся дуги в точке X, возрастает, пока X не достигнет середины дуги, и убывает после этого. Следовательно, равным радиусам соответствуют симметричные относительно середины дуги положения X.
Таким образом, ⌣AK = ⌣LC. Аналогично ⌣AN = ⌣MC. Значит, ⌣NK = ⌣LM, и ⌣KL = ⌣MN. Поэтому ⌣NL = ⌣NK + ⌣KL = 180°, то есть NL – диаметр окружности. Аналогично, KM тоже является диаметром.
Симметрия относительно центра O описанной окружности переводит пару окружностей, касающихся её в точках M и N, в пару окружностей, касающихся в точках K и L. Следовательно, общая внешняя касательная первой пары AC перейдёт в CA. Поэтому AC и аналогично BD – диаметры окружности, то есть ABCD – прямоугольник. Его диагонали делят описанную окружность на четыре сектора, и радиусы окружностей, вписанных в эти секторы, равны. Значит, равны и сами секторы, то есть ABCD – квадрат.

Ответ

Верно.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 [Всего задач: 8]