- Вводные задачи (4 задачи)
- параграф 1. Вписанная и описанная окружности (17 задач)
- параграф 2. Прямоугольные треугольники (10 задач)
- параграф 3. Правильный треугольник (7 задач)
- параграф 4. Треугольники с углами 60 и 120 градусов (7 задач)
- параграф 5. Целочисленные треугольники (6 задач)
- параграф 6. Разные задачи (21 задача)
- параграф 7. Теорема Менелая (16 задач)
- параграф 8. Теорема Чевы (20 задач)
- параграф 9. Прямая Симсона (15 задач)
- параграф 10. Подерный треугольник (8 задач)
- параграф 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек (10 задач)
- параграф 12. Точки Брокара (11 задач)
- параграф 13. Точка Лемуана (17 задач)
- Задачи для самостоятельного решения (7 задач)
Фильтр
Выбрано 4 задачи Убрать все задачи
Середины сторон выпуклого шестиугольника образуют шестиугольник, противоположные стороны которого параллельны.
Докажите, что большие диагонали исходного шестиугольника пересекаются в одной точке.
Найдите все трехзначные числа, каждая натуральная степень которых оканчивается на три цифры, составляющие первоначальное число.
Найдите четырехзначное число, являющееся точным квадратом, первые две цифры которого равны между собой и последние две цифры которого также равны между собой.
Окружность покрыта несколькими дугами. Эти дуги могут налегать друг на друга, но ни одна из них не покрывает окружность целиком. Доказать, что всегда можно выбрать несколько из этих дуг так, чтобы они тоже покрывали всю окружность и составляли в сумме не более 720o .
Задачи Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 176]
Задача 108005 (#05.071.1) |
|
|
Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))
|
|
Решение |
Задача 56917 (#05.072) |
|
|
Докажите, что высоты остроугольного треугольника
пересекаются в одной точке.
|
|
|
Решение |
Задача 56918 (#05.073) |
|
|
Прямые AP, BP и CP пересекают стороны
треугольника ABC (или их продолжения) в точках A1, B1 и C1.
Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно
прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами
отрезков AA1, BB1 и CC1, пересекаются в одной точке.
|
|
|
Решение |
Задача 56919 (#05.074) |
|
|
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC
взяты точки A1, B1 и C1 так, что отрезки AA1, BB1 и CC1
пересекаются в одной точке. Прямые A1B1 и A1C1 пересекают
прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в
точках C2 и B2 соответственно. Докажите, что AB2 = AC2.
|
|
|
Решение |
Задача 56920 (#05.075) |
|
|
а) Пусть
,
и
— произвольные углы, причем
сумма любых двух из них меньше
180o. На сторонах
треугольника ABC внешним образом построены треугольники
A1BC, AB1C
и ABC1, имеющие при вершинах A, B и C углы
,
и
.
Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников,
построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.
|
|
|
Решение |
Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 176]
