Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]

Задача 58390 (#29.024B)

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Пусть a, b и c — комплексные числа, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что комплексное число ${\frac{1}{2}}$ (a + b + c - $\bar{a}$ bc) соответствует основанию высоты, опущенной из вершины a на сторону bc.

Прислать комментарий Решение

Задача 58391 (#29.026B-)

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Докажите, что прямая, проходящая через точки a₁ и a₂, задаётся уравнением

z( $\displaystyle \bar{a}_{1}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}_{2}^{}$ ) - $\displaystyle \bar{z}$ (a₁ - a₂) + (a₁ $\displaystyle \bar{a}_{2}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}_{1}^{}$ a₂) = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58392 (#29.025)

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 3
Классы: 9,10

а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида

Az $\displaystyle \bar{z}$ + cz + $\displaystyle \bar{c}$ $\displaystyle \bar{z}$ + D = 0,

где A и D — вещественные числа, а c — комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество.
б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58393 (#29.026B)

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

а) Пусть $\varepsilon$ = ${\frac{1}{2}}$ + ${\frac{i\sqrt{3}}{2}}$ . Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a + $\varepsilon^{2}_{}$ b + $\varepsilon^{4}_{}$ c = 0 или a + $\varepsilon^{4}_{}$ b + $\varepsilon^{2}_{}$ c = 0.
б) Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a² + b² + c² = ab + bc + ac.

Прислать комментарий Решение

Задача 58394 (#29.026)

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Пусть точки A^*, B^*, C^*, D^* являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что:
а) ${\frac{AC}{AD}}$ : ${\frac{BC}{BD}}$ = ${\frac{A^*C^*}{A^*D^*}}$ : ${\frac{B^*C^*}{B^*D^*}}$ ;
б) $\angle$ (DA, AC) - $\angle$ (DB, BC) = $\angle$ (D^*B^*, B^*C^*) - $\angle$ (D^*A^*, A^*C^*).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]