Версия для печати
Убрать все задачи

---

Мальчик стоит на автобусной остановке и мёрзнет, а автобуса нет. Ему хочется пройтись до следующей остановки. Мальчик бегает вчетверо медленнее автобуса и может увидеть автобус на расстоянии 2 км. До следующей остановки ровно километр. Имеет ли смысл идти, или есть риск упустить автобус?

   Решение

---

Дан остроугольный треугольник A₀B₀C₀. Пусть точки A₁, B₁, C₁ — центры квадратов, построенных на сторонах B₀C₀, C₀A₀, A₀B₀. С треугольником A₁B₁C₁ делаем то же самое. Получаем треугольник A₂B₂C₂ и т.д. Доказать, что A_{n + 1}B_{n + 1}C_{n + 1} пересекает A_nB_nC_n ровно в 6 точках.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 46]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57888  (#17.022)

Тема:   [ Композиции симметрий ]

Сложность: 3 Классы: 9

а) Прямые l₁ и l₂ параллельны. Докажите, что S_l1oS_l2 = T_2a, где  T_a — параллельный перенос, переводящий l₁ в l₂, причем a l₁.
б) Прямые l₁ и l₂ пересекаются в точке O. Докажите, что S_l2oS_l1 = R²_O, где  R_O — поворот, переводящий l₁ в l₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57889  (#17.022B)

Тема:   [ Композиции симметрий ]

Сложность: 4 Классы: 9

Даны три прямые a, b, c. Докажите, что композиция симметрий S_coS_boS_a является симметрией относительно некоторой прямой тогда и только тогда, когда данные прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57890  (#17.023)

Тема:   [ Композиции симметрий ]

Сложность: 4 Классы: 9

Даны три прямые a, b, c. Пусть T = S_aoS_boS_c. Докажите, что ToT — параллельный перенос (или тождественное отображение).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57891  (#17.024)

Тема:   [ Композиции симметрий ]

Сложность: 4 Классы: 9

Пусть l₃ = S_l1(l₂). Докажите, что S_l3 = S_l1oS_l2oS_l1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57892  (#17.025)

Темы:   [ Композиции симметрий ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Биссектриса угла ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁; точки A₂, B₂ и C₂ симметричны этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Докажите, что  A₂B₂ || AB  и прямые AA₂, BB₂ и CC₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 46]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями