Все источники
>>
Книги, журналы
>>
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
>>
глава 17. Осевая симметрия
- Вводные задачи (4 задачи)
- параграф 1. Симметрия помогает решить задачу (3 задачи)
- параграф 2. Построения (12 задач)
- параграф 3. Неравенства и экстремумы (6 задач)
- параграф 4. Композиции симметрий (9 задач)
- параграф 5. Свойства симметрий и осей симметрии (6 задач)
- параграф 6. Теорема Шаля (6 задач)
Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 2019 четырёхугольников, каждый из которых одновременно вписанный и описанный.
В треугольнике ABC точка M – середина стороны BC, точка E лежит внутри стороны AC, BE⩾. Докажите, что треугольник ABC тупоугольный.
В клетках доски n×n произвольно расставлены числа от 1 до n². Докажите, что найдутся две такие соседние клетки (имеющие общую вершину или общую сторону), что стоящие в них числа отличаются не меньше чем на n + 1.
Рассматривается выпуклый восьмиугольник. С помощью диагонали от него можно
отрезать четырёхугольник, причём это можно сделать восемью способами. Может ли случиться, что среди этих восьми четырёхугольников имеется
а) четыре,
б) пять
таких, в которые можно вписать окружность?
Пусть P и Q – середины сторон AB и CD четырёхугольника ABCD, M и N – середины диагоналей AC и BD.
Докажите, что если MN и PQ перпендикулярны, то BC = AD.
Два треугольника A1B1C1 и A2B2C2, площади которых равны соответственно S1 и S2, расположены так, что лучи A1B1 и A2B2, B1C1 и B2C2, C1A1 и C2A2 противоположно направлены. Найдите площадь треугольника с вершинами в серединах отрезков A1A2, B1B2, C1C2.
Внутри вписанного четырёхугольника ABCD отмечены такие точки P и Q, что ∠PDC + ∠PCB = ∠PAB + ∠PBC = ∠QCD + ∠QDA = ∠QBA + ∠QAD = 90°.
Докажите, что прямая PQ образует равные углы с прямыми AD и BC.
Окружность S2 проходит через центр O окружности S1 и пересекает её в точках A и B. Через точку A проведена касательная к окружности S2. Точка D – вторая точка пересечения этой касательной с окружностью S1. Докажите, что AD = AB.
M – множество точек на плоскости. Точка O называется "почти центром симметрии" множества M, если из M можно выбросить одну точку так, что для оставшегося множества O является центром симметрии в обычном смысле. Сколько "почти центров симметрии" может иметь конечное множество на плоскости?
Дан правильный треугольник ABC. Некоторая прямая, параллельная прямой AC, пересекает прямые AB и BC в точках M и P соответственно. Точка D — центр правильного треугольника PMB, точка E — середина отрезка AP. Найдите углы треугольника DEC.
Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами p и q. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно p + q?
Существует ли такое натуральное число A, что если приписать его к самому себе справа, то полученное число окажется полным квадратом?
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 46]
Задача 57883 (#17.017) |
|
|
В треугольнике ABC проведена медиана AM.
Докажите, что
2AM(b + c)cos(
/2).
|
|
Решение |
Задача 57884 (#17.018) |
|
|
Вписанная окружность треугольника ABC касается
сторон AC и BC в точках B1 и A1. Докажите, что если
AC > BC, то AA1 > BB1.
|
|
|
Решение |
Задача 57885 (#17.019) |
|
|
Докажите, что площадь любого выпуклого четырехугольника не
превосходит полусуммы произведений противоположных сторон.
|
|
|
Решение |
Задача 57886 (#17.020) |
|
|
Дана прямая l и две точки A и B по одну
сторону от нее. Найдите на прямой l точку X так, чтобы
длина ломаной AXB была минимальна.
|
|
|
Решение |
Задача 57887 (#17.021) |
|
|
В данный остроугольный треугольник впишите
треугольник наименьшего периметра.
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 46]
