Версия для печати
Убрать все задачи

---

Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$ с центром $O$. Точка $A’$ диаметрально противоположна $A$ на $\omega$. На меньшей дуге $BC$ окружности $\omega$ выбрана точка $D$. Точка $D’$ симметрична $D$ относительно стороны $BC$. Прямая $A’D’$ вторично пересекает $\omega$ в точке $E$. Серединный перпендикуляр к $D’E$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите, что $\angle FOG=180^\circ-2\angle BAC$.

   Решение

---

Квадратный трёхчлен  x² + bx + c  имеет два действительных корня. Каждый из трёх его коэффициентов увеличили на 1.
Могло ли оказаться, что оба корня трёхчлена также увеличились на 1?

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65688  (#1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Найдите наименьшее натуральное число, десятичная запись квадрата которого оканчивается на 2016.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65689  (#2)

Темы:   [ Взвешивания ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Имеются чашечные весы, которые находятся в равновесии, если разность масс на их чашах не превосходит 1 г, а также гири массами ln 3, ln 4, ..., ln 79 г.
Можно ли разложить все эти гири на чаши весов так, чтобы весы находились в равновесии?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65690  (#3)

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Четность и нечетность ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Можно ли отметить k вершин правильного 14-угольника так, что каждый четырёхугольник с вершинами в отмеченных точках, имеющий две параллельные стороны, является прямоугольником, если:  а) k = 6;   б) k ≥ 7?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65691  (#4)

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

За некоторое время мальчик проехал на велосипеде целое число раз по периметру квадратной школы в одном направлении с постоянной по величине скоростью 10 км/ч. В это же время по периметру школы прогуливался его папа со скоростью 5 км/ч, при этом он мог менять направление движения. Папа видел мальчика в те и только те моменты, когда они находились на одной стороне школы. Мог ли папа видеть мальчика больше половины указанного времени?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65692  (#5)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Про приведённый многочлен  P(x) = xⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₁x + a₀  с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном
m ≥ 2  многочлен    имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен P(x) имеет действительные корни, причём только положительные?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями