Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть p и q — отличные от нуля действительные числа и p2 - 4q > 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся:
а) y0 = 0,        yn + 1 = $ {\dfrac{q}{p-y_n}}$    (n $ \geqslant$ 0);
б) z0 = 0,        zn + 1 = p - $ {\dfrac{q}{z_n}}$    (n $ \geqslant$ 0).
Установите связь между предельными значениями этих последовательностей y*, z* и корнями уравнения x2 - px + q = 0.

Вниз   Решение


Докажите, что для чисел {xn} из задачи 61297 можно в явном виде указать разложения в цепные дроби:  xn+1 = [1;].
Оцените разность  |xn|.

ВверхВниз   Решение


Проанализируйте при помощи ним-сумм игру ``Йога'' из задачи 4.21.

ВверхВниз   Решение


Коля Васин задумал число от 1 до 200. За какое наименьшее число вопросов вы сможете его отгадать, если он отвечает на каждый вопрос
а) ``да'' или ``нет'';
б) ``да'', ``нет'' или ``не знаю''?

ВверхВниз   Решение


Сходимость итерационного процесса. Предположим, что функция f (x) отображает отрезок [a;b] в себя, и на этом отрезке | f'(x)| $ \leqslant$ q < 1. Докажите, что уравнение f (x) = x имеет на отрезке [a;b] единственный корень x*. Докажите, что при решении этого уравнения методом итераций будут выполняться неравенства:

| xn + 1 - xn| $\displaystyle \leqslant$ | x1 - x0| . qn,    | x* - xn| $\displaystyle \leqslant$ | x1 - x0| . $\displaystyle {\frac{q^n}{1-q}}$.


ВверхВниз   Решение


Последовательность чисел {xn} задана условиями:

x1 $\displaystyle \geqslant$ - a,        xn + 1 = $\displaystyle \sqrt{a+x_n}$.

Докажите, что последовательность {xn} монотонна и ограничена. Найдите ее предел.

ВверхВниз   Решение


Пусть   = ,  где    – несократимая дробь.
Докажите, что неравенство  bn+1 < bn выполнено для бесконечного числа натуральных n.

ВверхВниз   Решение


Тест состоит из 30 вопросов, на каждый есть два варианта ответа (один верный, другой нет). За одну попытку Витя отвечает на все вопросы, после чего ему сообщают, на сколько вопросов он ответил верно. Сможет ли Витя действовать так, чтобы гарантированно узнать все верные ответы не позже, чем
  а) после 29-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 30-й попытке);
  б) после 24-й попытки (и ответить верно на все вопросы при 25-й попытке)?
(Изначально Витя не знает ни одного ответа, тест всегда один и тот же.)

ВверхВниз   Решение


Боря задумал целое число, большее 100. Кира называет целое число, большее 1. Если Борино число делится на это число, Кира выиграла, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет следующее число. Ей запрещается повторять числа, названные ранее. Если Борино число станет отрицательным – Кира проигрывает. Есть ли у неё выигрышная стратегия?

ВверхВниз   Решение


На берегу круглого озера растут 6 сосен. Известно, что если взять такие два треугольника, что вершины одного совпадают с тремя из сосен, а вершины другого – с тремя другими, то в середине отрезка, соединяющего точки пересечения высот этих треугольников, на дне озера находится клад. Неизвестно только, как нужно разбить данные шесть точек на две тройки. Сколько раз придётся опуститься на дно озера, чтобы наверняка отыскать клад?

ВверхВниз   Решение


Автор: Стунжас Л.

Существуют ли такие две функции  f и g, принимающие только целые значения, что для любого целого x выполнены соотношения:
  а)  f(f(x)) = x,  g(g(x)) = x,   f(g(x)) > x,  g(f(x)) > x?
  б)  f(f(x)) < x, g(g(x)) < x,   f(g(x)) > x,  g(f(x)) > x?

ВверхВниз   Решение


На сторонах BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что лучи A1A, B1B и С1C являются биссектрисами углов треугольника A1B1C1. Докажите, что AA1, BB1 и СС1 – высоты треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


У ведущего есть колода из 52 карт. Зрители хотят узнать, в каком порядке лежат карты (при этом не уточняя   сверху вниз или снизу вверх). Разрешается задавать ведущему вопросы вида "Сколько карт лежит между такой-то и такой-то картами?". Один из зрителей подсмотрел, в каком порядке лежат карты. Какое наименьшее число вопросов он должен задать, чтобы остальные зрители по ответам на эти вопросы могли узнать порядок карт в колоде?

ВверхВниз   Решение


Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      



Задача 98203

Темы:   [ Метод координат на плоскости ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Четность и нечетность ]
[ Доказательство от противного ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Анджанс А.

В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 98213

Темы:   [ Подобие ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Пятиугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Существует ли такой выпуклый пятиугольник, от которого некоторая прямая отрезает подобный ему пятиугольник?

Прислать комментарий     Решение

Задача 107758

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107759

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В квадрате клетчатой бумаги 10×10 нужно расставить один корабль 1×4, два – 1×3, три – 1×2 и четыре – 1×1. Корабли не должны иметь общих точек (даже вершин) друг с другом, но могут прилегать к границам квадрата. Докажите, что
  а) если расставлять их в указанном выше порядке (начиная с больших), то этот процесс всегда удается довести до конца, даже если в каждый момент заботиться только об очередном корабле, не думая о будущих;
  б) если расставлять их в обратном порядке (начиная с малых), то может возникнуть ситуация, когда очередной корабль поставить нельзя.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107770

Темы:   [ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Системы линейных уравнений ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть lA, lB, lC и lD – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть lP и lQ – внешние биссектрисы углов соответственно APD и AQB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через MAC точку пересечения lA и lC, через MBD – lB и lD, через MPQ – lP и lQ. Докажите, что, если все три точки MAC, MBD и MPQ существуют, то они лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .