Версия для печати
Убрать все задачи

---

Зайчиха купила для своих семерых зайчат семь барабанов разных размеров и семь пар палочек разной длины. Если зайчонок видит, что у него и барабан больше, и палочки длиннее, чем у кого-то из братьев, он начинает громко барабанить. Какое наибольшее число зайчат сможет начать барабанить?

   Решение

---

Дан равносторонний треугольник ABC. Для произвольной точки P внутри треугольника рассмотрим точки A' и C' пересечения прямых AP с BC и CP с AB. Найдите геометрическое место точек P, для которых отрезки AA' и CC' равны.

   Решение

---

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причём  AO = CO.  Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если   а)  AM = CN;   б)  BM = BN?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109543  (#93.4.9.1)

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство  a² + ab + b² ≥ 3(a + b – 1).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109544  (#93.4.9.2)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Признаки делимости на 11 ] [ Метод спуска ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Найдите наибольшее натуральное число, из которого вычеркиванием цифр нельзя получить число, кратное 11.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108229  (#93.4.9.3)

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке O, причём  AO = CO.  Обязательно ли треугольник ABC равнобедренный, если   а)  AM = CN;   б)  BM = BN?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109546  (#93.4.9.4)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

В колоде n карт. Часть из них лежит рубашками вверх, остальные – рубашками вниз. За один ход разрешается взять несколько карт сверху, перевернуть полученную стопку и снова положить ее сверху колоды. За какое наименьшее число ходов при любом начальном расположении карт можно добиться того, чтобы все карты лежали рубашками вниз?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109547  (#93.4.9.5)

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Деление с остатком ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Докажите, что уравнение  x³ + y³ = 4(x²y + xy² + 1)  не имеет решений в целых числах.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями