Найдите все такие числа a, что для любого натурального n число  an(n + 2)(n + 4)  будет целым.

   Решение

На встречу выпускников пришло 45 человек. Оказалось, что любые двое из них, имеющие одинаковое число знакомых среди пришедших, не знакомы друг с другом. Какое наибольшее число пар знакомых могло быть среди участвовавших во встрече?

   Решение

Дан выпуклый n -угольник ( n>3 ), никакие четыре вершины которого не лежат на одной окружности. Окружность, проходящую через три вершины многоугольника и содержащую внутри себя остальные его вершины, назовем описанной. Описанную окружность назовем граничной, если она проходит через три последовательные (соседние) вершины многоугольника; описанную окружность назовем внутренней, если она проходит через три вершины, никакие две из которых не являются соседними вершинами многоугольника. Докажите, что граничных описанных окружностей на две больше, чем внутренних.

   Решение

Решите в целых числах уравнение  (x² – y²)² = 1 + 16y.

   Решение

Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан непересекающимися диагоналями на остроугольные треугольники не более, чем одним способом.

   Решение

За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: Кто Ваш сосед справа – умный или дурак? В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит F . При каком наибольшем значении F всегда можно, зная эти ответы, указать на умного человека в этой компании?

   Решение

С числом разрешается проводить одно из двух действий: возводить в квадрат или прибавлять единицу. Даны числа 19 и 98 . Можно ли из них за одно и то же количество действий получить равные числа?

   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  средняя линия, параллельная стороне BC, пересекается со вписанной окружностью в точке F, не лежащей на основании AC. Докажите, что касательная к окружности в точке F пересекается с биссектрисой угла C на стороне AB.

   Решение

Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.

   Решение

Дано дерево с n вершинами,  n ≥ 2.  В его вершинах расставлены числа x₁, x₂, x_n, а на каждом ребре записано произведение чисел, стоящих в концах этого ребра. Обозначим через S сумму чисел на всех рёбрах. Докажите, что  

   Решение

Последовательность {a_n} строится следующим образом:  a₁ = p  – простое число, имеющее ровно 300 ненулевых цифр, a_n+1 – период десятичной дроби ¹/_an, умноженный на 2. Найдите число a₂₀₀₃.

   Решение

Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Пусть описанные окружности S₁ и S₂ треугольников ABO и CDO второй раз пересекаются в точке K. Прямые, проходящие через точку O параллельно прямым AB и CD, вторично пересекают S₁ и S₂ в точках L и M соответственно. На отрезках OL и OM выбраны соответственно точки P и Q, причём  OP : PL = MQ : QO.  Докажите, что точки O, K, P, Q лежат на одной окружности.

   Решение

В стране n городов. Между каждыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придётся поменять вид транспорта не более одного раза.

   Решение

На плоскости отметили n  (n > 2)  прямых, проходящих через одну точку O таким образом, что для каждых двух из них найдётся такая отмеченная прямая, которая делит пополам одну из пар вертикальных углов, образованных этими прямыми. Докажите, что проведённые прямые делят полный угол на равные части.

   Решение

Дан тетраэдр ABCD. Вписанная в него сфера σ касается грани ABC в точке T. Сфера σ' касается грани ABC в точке T' и продолжений граней ABD, BCD, CAD. Докажите, что прямые AT и AT' симметричны относительно биссектрисы угла BAC.

   Решение

Найдите все функции f(x) , определенные при всех положительных x , принимающие положительные значения и удовлетворяющие при любых положительных x и y равенству f(x^y)=f(x)^f(y) .

   Решение

Назовем усреднением последовательности a_k действительных чисел последовательность a'_k с общим членом a'_k= . Рассмотрим последовательности: a_k , a'_k – ее усреднение, a''_k – усреднение последовательности a'_k , и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность a_k – хорошая. Докажите, что если последовательность x_k – хорошая, то последовательность x_k² – тоже хорошая.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

За круглым столом сидит компания из тридцати человек. Каждый из них либо дурак, либо умный. Всех сидящих спрашивают: Кто Ваш сосед справа – умный или дурак? В ответ умный говорит правду, а дурак может сказать как правду, так и ложь. Известно, что количество дураков не превосходит F . При каком наибольшем значении F всегда можно, зная эти ответы, указать на умного человека в этой компании?

Прислать комментарий

Решение

Целые числа x, y и z таковы, что  (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z.  Докажите, что число  x + y + z  делится на 27.

Прислать комментарий

Решение

Верно ли, что любые два прямоугольника равной площади можно расположить на плоскости так, что любая горизонтальная прямая, пересекающая один из них, будет пересекать и второй, причём по отрезку той же длины?

Прислать комментарий

Решение

Квадратная доска разделена сеткой горизонтальных и вертикальных прямых на n² клеток со стороной 1. При каком наибольшем n можно отметить n клеток так, чтобы каждый прямоугольник площади не менее n со сторонами, идущими по линиям сетки, содержал хотя бы одну отмеченную клетку?

Прислать комментарий

Решение

Назовем усреднением последовательности a_k действительных чисел последовательность a'_k с общим членом a'_k= . Рассмотрим последовательности: a_k , a'_k – ее усреднение, a''_k – усреднение последовательности a'_k , и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность a_k – хорошая. Докажите, что если последовательность x_k – хорошая, то последовательность x_k² – тоже хорошая.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]