Версия для печати
Убрать все задачи

---

Каждой стороне b выпуклого многоугольника P поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в P, одна из сторон которых совпадает с b. Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонам P, не меньше удвоенной площади многоугольника P.

   Решение

---

Построить прямоугольный треугольник, зная, что часть катета от вершины острого угла до точки касания с вписанной окружностью равна данному отрезку m , а противолежащий этому катету угол равен данному углу α .

   Решение

---

На рисунке изображен график функции  у = kx + b .  Сравните |k| и |b|.

   Решение

---

Найдите наименьшее натуральное значение n, при котором число n! делится на 990.

   Решение

---

Внутри правильного n-угольника со стороной a вписано n равных кругов так, что каждый круг касается двух смежных сторон многоугольника и двух соседних кругов. Найти площадь "звёздочки", ограниченной только дугами вписанных кругов.

   Решение

---

Известно, что   .   Найдите значение выражения   .

   Решение

---

В стаде, состоящем из лошадей, двугорбых и одногорбых верблюдов, в общей сложности 200 горбов.
Сколько животных в стаде, если количество лошадей равно количеству двугорбых верблюдов? .

   Решение

---

Найти такое трёхзначное число, удвоив которое, мы получим число, выражающее количество цифр, необходимое для написания всех последовательных целых чисел от единицы до этого искомого трёхзначного числа (включительно).

   Решение

---

Дан правильный 2n-угольник.
Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109542  (#93.4.10.8)

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Выигрышные и проигрышные позиции ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Из квадратной доски 1000×1000 клеток удалены четыре прямоугольника 2×994 (см. рис.).

На клетке, помеченной звездочкой, стоит кентавр – фигура, которая за один ход может перемещаться на одну клетку вверх, влево или по диагонали вправо и вверх. Двое игроков ходят кентавром по очереди. Проигрывает тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109529  (#93.4.11.1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Уравнения в целых числах ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Найдите все натуральные числа n, для которых сумма цифр числа 5ⁿ равна 2ⁿ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109530  (#93.4.11.2)

Темы:   [ Иррациональные неравенства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого натурального  n > 2  число     делится на 8.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109531  (#93.4.11.3)

Темы:   [ Сфера, вписанная в многогранный угол ] [ Касательные к сферам ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Четырехугольная пирамида ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Точка O – основание высоты четырёхугольной пирамиды. Сфера с центром O касается всех боковых граней пирамиды. Точки A, B, C и D взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки AB, BC и CD проходят через три точки касания сферы с гранями.
Докажите, что отрезок AD проходит через четвёртую точку касания.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109532  (#93.4.11.4)

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Векторы сторон многоугольников ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Дан правильный 2n-угольник.
Докажите, что на всех его сторонах и диагоналях можно расставить стрелки так, чтобы сумма полученных векторов была нулевой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 48]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями