Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Всероссийская олимпиада по математике
>>
1998-1999
>>
Региональный этап
>>
11 Класс
Фильтр
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи
Даны n карточек; на обеих сторонах каждой карточки написано по одному из чисел 1, 2,..., n, причём так, что каждое число встречается на всех n карточках ровно два раза. Доказать, что карточки можно разложить на столе так, что сверху окажутся все числа: 1, 2,..., n.
Решение
Решение
В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей – молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все болтуны молчали. Решение
Убрать все задачи
Даны n карточек; на обеих сторонах каждой карточки написано по одному из чисел 1, 2,..., n, причём так, что каждое число встречается на всех n карточках ровно два раза. Доказать, что карточки можно разложить на столе так, что сверху окажутся все числа: 1, 2,..., n.
РешениеBнутри треугольника ABC выбрана произвольная точка M. Докажите, что MA + MB + MC ≤ max {AB + BC, BC + AC, AC + AB}.
РешениеВ классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей – молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все болтуны молчали.
Решение
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
О функции f(x) , заданной на всей действительной прямой, известно, что
при любом a>1 функция f(x)+f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите,
что f(x) также непрерывна на всей прямой.
В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном.
При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей
– молчунов.
Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины
класса так, чтобы все болтуны молчали.
Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если
проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань.
Докажите, что больших граней не больше 6.
Существуют ли действительные числа a , b и c такие, что при
всех действительных x и y выполняется неравенство
|x+a|+|x+y+b|+|y+c|>|x|+|x+y|+|y|?
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
Задача 109997 (#99.4.11.1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 110011 (#99.4.11.2) |
|
|
Произведение положительных чисел x, y и z равно 1.
Докажите, что если 1/x + 1/y + 1/z ≥ x + y + z, то для любого натурального k выполнено неравенство x–k + y–k + z–k ≥ xk + yk + zk.
|
|
|
Решение |
Задача 109998 (#99.4.11.3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 109999 (#99.4.11.4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 110000 (#99.4.11.5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]
