Версия для печати
Убрать все задачи

---

На каждом километре шоссе между сёлами Ёлкино и Палкино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано, сколько километров до Ёлкино, а на другой – до Палкино. Боря заметил, что на каждом столбе сумма всех цифр равна 13. Каково расстояние от Ёлкино до Палкино?

   Решение

---

На прозрачном столе стоит куб 3×3×3, составленный из 27 одинаковых кубиков. Со всех шести сторон (спереди, сзади, слева, справа, сверху, снизу) мы видим квадрат 3×3. Какое наибольшее число кубиков можно убрать так, чтобы со всех сторон был виден квадрат 3×3 и при этом оставшаяся система кубиков не разваливалась?

   Решение

---

В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более N различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на  2N + 2  республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110035  (#00.4.10.5)

Темы:   [ Характеристические свойства и рекуррентные соотношения ] [ Тригонометрические неравенства ] [ Неравенства с модулями ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Существует ли функция f(x) , определенная при всех x и для всех x,y удовлетворяющая неравенству

|f(x+y)+ sin x+ sin y|<2?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110036  (#00.4.10.6)

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Ограниченность, монотонность ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

По данному натуральному числу a₀ строится последовательность {a_n} следующим образом     если a_n нечётно, и ^a₀/₂, если a_n чётно. Докажите, что при любом нечётном  a₀ > 5  в последовательности {a_n} встретятся сколь угодно большие числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108248  (#00.4.10.7)

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

В выпуклом четырёхугольнике ABCD провели биссектрисы l_a, l_b, l_c и l_d внешних углов при вершинах A, B, C и D соответственно. Точки пересечения прямых l_a и l_b, l_b и l_c, l_c и l_d, l_d и l_a обозначили через K, L, M и N. Известно, что три перпендикуляра, опущенных из точки K на AB, из L на BC, из M на CD пересекаются в одной точке. Докажите, что четырёхугольник ABCD – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110038  (#00.4.10.8)

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Обход графов ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В стране 2000 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Известно, что через любой город проходит не более N различных несамопересекающихся циклических маршрутов нечётной длины. Докажите, что страну можно разделить на  2N + 2  республики так, чтобы никакие два города из одной республики не были соединены дорогой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110024  (#00.4.11.1)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что можно выбрать такие различные действительные числа  a₁, a₂, ..., a₁₀,  что уравнение
(x – a₁)(x – a₂)...(x – a₁₀) = (x + a₁)(x + a₂)...(x + a₁₀)  будет иметь ровно пять различных действительных корней.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями