Версия для печати
Убрать все задачи

---

Представьте числовое выражение  2·2009² + 2·2010²  в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

.

   Решение

---

На биссектрисе данного угла фиксирована точка. Рассматриваются всевозможные равнобедренные треугольники, у которых вершина находится в этой точке, а концы оснований лежат на разных сторонах этого угла. Найти геометрическое место середин оснований таких треугольников.

   Решение

---

Даны три прямые a, b, c. Пусть T = S_aoS_boS_c. Докажите, что ToT — параллельный перенос (или тождественное отображение).

   Решение

---

У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?

   Решение

---

Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём  ace ≠ 0.  Известно, что значения выражений  |ax + b| + |cx + d|  и  |ex + f |  равны при всех значениях x.
Докажите, что  ad = bc.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110077  (#01.4.8.1)

Темы:   [ Задачи на проценты и отношения ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Можно ли числа 1, 2, ..., 10 расставить в ряд в некотором порядке так, чтобы каждое из них, начиная со второго, отличалось от предыдущего на целое число процентов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110078  (#01.4.8.2)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Перебор случаев ] [ Ребусы ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

N цифр – единицы и двойки – расположены по кругу. Изображенным назовем число, образуемое несколькими цифрами, расположенными подряд (по часовой стрелке или против часовой стрелки). При каком наименьшем значении N все четырехзначные числа, запись которых содержит только цифры 1 и 2, могут оказаться среди изображенных?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110079  (#01.4.8.3)

Темы:   [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Пятиугольники ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Все стороны выпуклого пятиугольника равны, а все углы различны. Докажите, что максимальный и минимальный углы прилегают к одной стороне пятиугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110080  (#01.4.8.4)

Темы:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Симметричная стратегия ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Уголком размера n×m , где m,n2 , называется фигура, получаемая из прямоугольника размера n×m клеток удалением прямоугольника размера (n-1)×(m-1) клеток. Два игрока по очереди делают ходы, заключающиеся в закрашивании в уголке произвольного ненулевого количества клеток, образующих прямоугольник или квадрат. Пропускать ход или красить одну клетку дважды нельзя. Проигрывает тот, после чьего хода все клетки уголка окажутся окрашенными. Кто из игроков победит при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110081  (#01.4.8.5)

Темы:   [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ] [ Уравнения с модулями ] [ Системы линейных уравнений ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём  ace ≠ 0.  Известно, что значения выражений  |ax + b| + |cx + d|  и  |ex + f |  равны при всех значениях x.
Докажите, что  ad = bc.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 56]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями