Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четырехугольник имеет ось симметрии. Докажите, что этот четырехугольник либо является равнобедренной трапецией, либо симметричен относительно диагонали.

   Решение

---

Дан вписанный четырёхугольник АВСD. Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках P и Q. Пусть К и N – середины диагоналей.
Докажите, что сумма углов PKQ и PNQ равна 180°.

   Решение

---

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Точки P и Q симметричны точке C относительно прямых AB и AD соответственно.
Докажите, что прямая PQ проходит через ортоцентр H треугольника ABD.

   Решение

---

По каждой из двух пересекающихся прямых с постоянными скоростями, не меняя направления, ползёт по жуку. Известно, что проекции жуков на ось OX никогда не совпадают (ни в прошлом, ни в будущем). Докажите, что проекции жуков на ось OY обязательно совпадут или совпадали раньше.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110139  (#03.4.8.1)

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Числа от 1 до 10 разбили на две группы так, что произведение чисел в первой группе нацело делится на произведение чисел во второй.
Какое наименьшее значение может быть у частного от деления первого произведения на второе?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110140  (#03.4.8.2)

Темы:   [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Задачи на движение ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

По каждой из двух пересекающихся прямых с постоянными скоростями, не меняя направления, ползёт по жуку. Известно, что проекции жуков на ось OX никогда не совпадают (ни в прошлом, ни в будущем). Докажите, что проекции жуков на ось OY обязательно совпадут или совпадали раньше.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110141  (#03.4.8.3)

Тема:   [ Выигрышные и проигрышные позиции ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Двое по очереди выписывают на доску натуральные числа от 1 до 1000. Первым ходом первый игрок выписывает на доску число 1. Затем очередным ходом на доску можно выписать либо число 2a , либо число a+1 , если на доске уже написано число a . При этом запрещается выписывать числа, которые уже написаны на доске. Выигрывает тот, кто выпишет на доску число 1000. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110142  (#03.4.8.4)

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Докажите, что произвольный треугольник можно разрезать на три многоугольника, один из которых должен быть тупоугольным треугольником, так, чтобы потом сложить из них прямоугольник. (Переворачивать части можно).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110143  (#03.4.8.5)

Темы:   [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Куб ] [ Модуль числа (прочее) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

В вершинах кубика написали числа от 1 до 8, а на каждом ребре – модуль разности чисел, стоящих в его концах. Какое наименьшее количество различных чисел может быть написано на ребрах?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 55]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями