Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 111815 (#08.4.9.6)

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Характеристические свойства и рекуррентные соотношения	]
	[	Методы решения задач с параметром	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Терешин Д.А.

Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Известно, что для любого вещественного x существует такое вещественное y, что f(y) = f(x) + y. Найдите наибольшее возможное значение a.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111816 (#08.4.9.7)

Темы:	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Филимонов В.П.

Дан треугольник ABC, в котором AB > BC. Касательная к его описанной окружности в точке B пересекает прямую AC в точке P. Точка D симметрична точке B относительно точки P, а точка E симметрична точке C относительно прямой BP. Докажите, что четырёхугольник ABED – вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111817 (#08.4.9.8)

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Берлов С.Л., Мурашкин М.В.

300 бюрократов разбиты на три комиссии по 100 человек. Каждые два бюрократа либо знакомы друг с другом, либо незнакомы. Докажите, что найдутся два таких бюрократа из разных комиссий, что в третьей комиссии есть либо 17 человек, знакомых с обоими, либо 17 человек, незнакомых с обоими.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111810 (#08.4.10.1)

Тема:

[

Тождественные преобразования

]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Сендеров В.А.

Числа a, b, c таковы, что a²(b + c) = b²(a + c) = 2008 и a ≠ b. Найдите значение выражения c²(a + b).

Прислать комментарий

Решение

Задача 111803 (#08.4.10.2)

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Биссектриса угла	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Грибалко А.В.

На сторонах AB и AC треугольника ABC нашлись такие точки M и N, отличные от вершин, что MC = AC и NB = AB. Точка P симметрична точке A относительно прямой BC. Докажите, что PA является биссектрисой угла MPN.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]