Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]

Задача 111921 (#5)

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Заславский А.А.

Стороны BC и AC треугольника ABC касаются соответствующих вневписанных окружностей в точках A₁ , B₁ . Пусть A₂ , B₂ — ортоцентры треугольников CAA₁ и CBB₁ . Докажите, что прямая A₂B₂ перпендикулярна биссектрисе угла C .

Прислать комментарий Решение

Задача 111927 (#5)

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Канунников А.Л.

Для каждого простого p найдите наибольшую натуральную степень числа p!, на которую делится число (p²)!.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111922 (#6)

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фольклор

Докажите, что при любых натуральных 0 < k < m < n числа и не взаимно просты.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111928 (#6)

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Связность. Связные множества	]
	[	Числовые таблицы и их свойства	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Косухин О.Н.

Докажите, что при любом разбиении ста "двузначных" чисел 00, 01, ..., 99 на две группы некоторые числа хотя бы одной группы можно записать в ряд так, чтобы каждые два соседних числа этого ряда отличались друг от друга на 1, 10 или 11, и хотя бы в одном из двух разрядов (единиц или десятков) встречались все 10 различных цифр.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]