На сторонах AB, BC, CD, DA квадрата ABCD взяты соответственно точки N, K, L, M, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что KLMN – также квадрат.

   Решение

Докажите, что площадь S треугольника равна abc/4R.

   Решение

Маляр-хамелеон ходит по клетчатой доске как хромая ладья (на одну клетку по вертикали или горизонтали). Попав в очередную клетку, он либо перекрашивается в её цвет, либо перекрашивает клетку в свой цвет. Белого маляра-хамелеона кладут на чёрную доску размером 8×8 клеток. Сможет ли он раскрасить её в шахматном порядке?

   Решение

Как, не имея никаких измерительных средств, отмерить 50 см от шнурка, длина которого ⅔ метра?

   Решение

Девять одинаковых воробьёв склёвывают меньше, чем 1001 зёрнышко, а десять таких же воробьёв склёвывают больше, чем 1100 зёрнышек. По скольку зёрнышек склёвывает каждый воробей?

   Решение

Поместится ли все население Земли, все здания и сооружения на ней в куб с длиной ребра 3 километра?

   Решение

Число A положительно, В отрицательно, а C равно нулю. Каков знак числа AB+ AC+BC?

   Решение

Можно ли расположить на плоскости три вектора так, чтобы модуль суммы каждых двух из них был равен 1, а сумма всех трёх была равна нулевому вектору?

   Решение

Известно, что  tg α + tg β = p,  ctg α + ctg β = q.  Найдите   tg(α + β).

   Решение

Существует ли натуральное число, кратное 2007, сумма цифр которого равна 2007?

   Решение

Петя и Вася участвовали в велогонке. Все участники стартовали одновременно и показали на финише различное время. Петя финишировал сразу после Васи и оказался на десятом месте. Сколько человек участвовало в гонке, если Вася был пятнадцатым с конца?

   Решение

Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность, проходящая через вершину B и центр O его описанной окружности, вторично пересекает стороны BC и BA в точках P и Q соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника POQ лежит на прямой AC.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

Приведённый квадратный трёхчлен P(x) таков, что многочлены P(x) и P(P(P(x))) имеют общий корень. Докажите, что  P(0)P(1) = 0.

Прислать комментарий

Решение

В каждой клетке таблицы, состоящей из 10 столбцов и n строк, записана цифра. Известно, что для каждой строки A и любых двух столбцов найдётся строка, отличающаяся от A ровно в этих двух столбцах. Докажите, что  n ≥ 512.

Прислать комментарий

Решение

Натуральные числа d и  d' > d  – делители натурального числа n. Докажите, что  d' > d + ^d²/_n.

Прислать комментарий

Решение

Дан остроугольный треугольник ABC. Окружность, проходящая через вершину B и центр O его описанной окружности, вторично пересекает стороны BC и BA в точках P и Q соответственно. Докажите, что ортоцентр треугольника POQ лежит на прямой AC.

Прислать комментарий

Решение

На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]