Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 12 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

7 шоколадок дороже чем 8 пачек печенья. Что дороже – 8 шоколадок или 9 пачек печенья?

Вниз   Решение


Найдётся ли среди чисел вида 1...1 число, которое делится на 57?

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

На рисунке изображен параллелограмм и отмечена точка P пересечения его диагоналей. Проведите через P прямую так, чтобы она разбила параллелограмм на две части, из которых можно сложить ромб.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Постройте треугольник по стороне, радиусу вписанной окружности и радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны. (Исследование проводить не требуется.)

ВверхВниз   Решение


По кругу расставили 1000 чисел, среди которых нет нулей, и раскрасили их поочередно в белый и чёрный цвета. Оказалось, что каждое чёрное число равно сумме двух соседних с ним белых чисел, а каждое белое число равно произведению двух соседних с ним чёрных чисел. Чему может быть равна сумма всех расставленных чисел?

ВверхВниз   Решение


В некоторой точке круглого острова радиусом 1 км зарыт клад. На берегу острова стоит математик с прибором, который указывает направление на клад, когда расстояние до клада не превосходит 500 м. Кроме того, у математика есть карта острова, на которой он может фиксировать все свои перемещения, выполнять измерения и геометрические построения. Математик утверждает, что у него есть алгоритм, как добраться до клада, пройдя меньше 4 км. Может ли это быть правдой?

ВверхВниз   Решение


Кащей заточил в темницу толпу пленников и сказал им: «Завтра вам предстоит испытание. Я выберу нескольких из вас (кого захочу, но минимум троих), посажу за круглый стол в каком-то порядке (в каком пожелаю) и каждому на лоб наклею бумажку с нарисованной на ней фигуркой. Фигурки могут повторяться, но никакие две разные фигурки не будут наклеены на одинаковое число людей. Каждый посмотрит на фигурки остальных, а своей не увидит. Подавать друг другу какие-то знаки запрещено. После этого я наклейки сниму и велю всех развести по отдельным камерам. Там каждый должен будет на листе бумаги нарисовать фигурку. Если хоть один нарисует такую, какая была у него на лбу, всех отпущу. Иначе останетесь здесь навечно».

Как пленникам договориться действовать, чтобы спастись?

ВверхВниз   Решение


Имеется 36 борцов. У каждого некоторый уровень силы, и более сильный всегда побеждает более слабого, а равные по силе сводят поединок вничью. Всегда ли этих борцов можно разбить на пары так, что все победители в парах будут не слабее, чем все те, кто сделал ничью или проиграл, а все сделавшие ничью будут не слабее всех тех, кто проиграл?

ВверхВниз   Решение


Наибольший общий делитель натуральных чисел a, b будем обозначать  (a, b).  Пусть натуральное число n таково, что
(n, n + 1) < (n, n + 2) < ... < (n, n + 35).  Докажите, что  (n, n + 35) < (n, n + 36).

ВверхВниз   Решение


Автор: Храмцов Д.

Через центры некоторых клеток шахматной доски 8×8 проведена замкнутая несамопересекающаяся ломаная. Каждое звено ломаной соединяет центры соседних по горизонтали, вертикали или диагонали клеток. Докажите, что в ограниченном ею многоугольнике общая площадь чёрных частей равна общей площади белых частей.

ВверхВниз   Решение


Решите задачу 3 для надписи A, BC, DEF, CGH, CBE, EKG.

ВверхВниз   Решение


Внутри круга отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что их можно разбить на пары и провести прямую через каждую пару так, чтобы все точки пересечения прямых были в круге.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



Задача 116719  (#1)

Темы:   [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

В команде сторожей у каждого есть разряд (натуральное число). Сторож N-го разряда N суток дежурит, потом N суток спит, снова N суток дежурит, N – спит, и так далее. Известно, что разряды любых двух сторожей различаются хотя бы в три раза. Может ли такая команда осуществлять ежедневное дежурство? (Приступить к дежурству сторожа могут не одновременно, в один день могут дежурить несколько сторожей.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 116725  (#2)

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Внутри круга отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что их можно разбить на пары и провести прямую через каждую пару так, чтобы все точки пересечения прямых были в круге.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116726  (#3)

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите, что для любого натурального n существуют такие целые числа  a1, a2, ..., an,  что при всех целых x число
(...((x² + a1)² + a2)² + ... + an–1)² + an   делится на  2n – 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116727  (#4)

Темы:   [ Куб ]
[ Ломаные внутри квадрата ]
[ Неравенство Коши ]
[ Симметриия и неравенства и экстремумы ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.
Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем    .

Прислать комментарий     Решение

Задача 116688  (#5)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Соображения непрерывности ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Дан треугольник ABC. Прямая l касается вписанной в него окружности. Обозначим через la, lb, lc прямые, симметричные l относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику ABC.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .