Докажите, что треугольник ABC является правильным тогда и только тогда, когда при повороте на 60° (либо по часовой стрелке, либо против) относительно точки A вершина B переходит в вершину C.

   Решение

В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны   и  .  Найдите гипотенузу треугольника.

   Решение

На плоскости даны три точки A, B, C и три угла D, E, F, меньшие 180^o и в сумме равные 360^o. Построить с помощью линейки и транспортира точку O плоскости такую, что AOB = D, BOC = E, COA = F (с помощью транспортира можно измерять и откладывать углы).

   Решение

Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от двух пересекающихся прямых.

   Решение

Имеются две концентрические окружности. Вокруг меньшей из них описан многоугольник, целиком находящийся внутри большей окружности. Из общего центра на стороны многоугольника опущены перпендикуляры, которые продолжены до пересечения с большей окружностью; каждая из полученных точек пересечения соединена с концами соответствующей стороны многоугольника. При каком условии построенный так звёздчатый многоугольник будет развёрткой пирамиды?

   Решение

Среди 4-х людей нет трех с одинаковым именем, одинаковым отчеством или одинаковой фамилией, но у любых двух людей совпадают либо имя, либо отчество, либо фамилия. Может ли так быть?

   Решение

Одна из сторон треугольника равна 6, вторая сторона равна 2, а противолежащий ей угол равен 60^o. Найдите третью сторону треугольника.

   Решение

Пусть O — центр окружности, описанной около треугольника ABC , AOC = 60^o . Найдите угол AMC , где M — центр окружности, вписанной в треугольник ABC .

   Решение

Пловец плывёт вверх против течения Невы. Возле Дворцового моста он потерял пустую фляжку. Проплыв еще 20 минут против течения, он заметил потерю и вернулся догонять флягу; догнал он её возле моста лейтенанта Шмидта. Какова скорость течения Невы, если расстояние между мостами равно 2 км?

   Решение

CH – высота прямоугольного треугольника ABC , проведённая из вершины прямого угла. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники ACH , BCH и ABC , равна CH .

   Решение

Имеется 81 гиря весом 1² г, 2² г, 3² г, ..., 81² г. Разложить их на 3 равные по весу кучи.

   Решение

Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все её звенья?

   Решение

На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?

   Решение

Отрезки AB и CD пересекаются под прямым углом и  AC = AD.  Докажите, что  BC = BD  и  ∠ACB = ∠ADB.

   Решение

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD отметили точки E, F, G, H соответственно.
Докажите, что описанные круги треугольников HAE, EBF, FCG и GDH покрывают четырёхугольник ABCD целиком.

   Решение

Стороны треугольника равны 10, 17, и 21. Найдите высоту, проведённую к большей стороне.

   Решение

Пусть  z = x + iy,  w = u + iv.  Найдите
  а)  z + w;   б)  zw;   в)  ^z/_w.

   Решение

Том написал на заборе из досок слово ММО, а Гек — число 2020. Ширина каждой буквы и цифры 9 см, а ширина доски забора — 5 см. Мог ли Гек испачкать меньше досок, чем Том? (Доски расположены вертикально, а слова и числа пишутся горизонтально. Цифры и буквы пишутся через равные промежутки.)

   Решение

Существует ли число, в десятичной записи квадрата которого имеется последовательность цифр «2018»?

   Решение

Докажите, что  n³ – n  делится на 24 при любом нечётном n.

   Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 559]      

Докажите, что  n³ – n  делится на 24 при любом нечётном n.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что  p² – 1  делится на 24, если p – простое число и  p > 3.
б) Докажите, что  p² – q²  делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.

Прислать комментарий

Решение

Натуральные числа x, y, z таковы, что  x² + y² = z².  Докажите, что хотя бы одно из этих чисел делится на 3.

Прислать комментарий

Решение

a и b – натуральные числа, причём число  a² + b²  делится на 21. Докажите, что оно делится и на 441.

Прислать комментарий

Решение

a, b, c – целые числа, причём  a + b + c  делится на 6. Докажите, что  a³ + b³ + c³  тоже делится на 6.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 559]