ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Интернет-ресурсы:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Можно ли расставить на футбольном поле четырёх футболистов так, чтобы попарные расстояния между ними равнялись 1, 2, 3, 4, 5 и 6 метров? Дана последовательность чисел 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., в которой каждое число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих. В этой последовательности выбрано восемь чисел подряд. Докажите, что их сумма не равна никакому числу рассматриваемой последовательности. Назовём натуральное число n удобным, если n² + 1 делится на 1000001. Докажите, что среди чисел 1, 2, ..., 1000000 чётное число удобных. В равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружности составляет 2/7 высоты, а периметр этого треугольника равен 56. Найдите его стороны. Докажите, что ни одно из чисел вида 103n+1 нельзя представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел. Доказать, что в последовательности 11, 111, 1111, 11111, ... нет точных квадратов. В пространстве построена замкнутая ломаная так, что все звенья имеют одинаковую длину и каждые три последовательных звена попарно перпендикулярны. Доказать, что число звеньев делится на 6. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты CC1 и AA1. Известно, что AC = 1 и ∠C1CA1 = α. В треугольник вписана окружность, и точки касания её со сторонами треугольника соединены между собой. В полученный таким образом треугольник вписана новая окружность, точки касания которой со сторонами являются вершинами третьего треугольника, имеющего те же углы, что и первоначальный треугольник. Найти эти углы. Окружность, центр которой лежит на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, касается двух катетов AC и BC соответственно в точках E и D. Сумма 123 чисел равна 3813. Доказать, что из этих чисел можно выбрать 100 с суммой не меньше 3100. При каких целых n число 20n + 16n – 3n – 1 делится на 323? Какое число нужно добавить к числу (n² – 1)1000(n² + 1)1001, чтобы результат делился на n? Окружность радиуса r касается некоторой прямой в точке M. На
этой прямой по разные стороны от M взяты точки A и B, причём
MA = MB = a. Разбить число 1957 на 12 целых положительных слагаемых a1, a2, ..., a12 так, чтобы произведение a1!a2!...a12! было минимально. Две параллельные хорды AB и CD расположены по одну сторону от центра O окружности радиуса 30. AB = 48, CD = 36. |
Страница: << 116 117 118 119 120 121 122 >> [Всего задач: 7526]
Две равные касающиеся окружности с центрами O1 и O2 касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O.
Окружность радиуса r касается некоторой прямой в точке M. На
этой прямой по разные стороны от M взяты точки A и B, причём
MA = MB = a.
В равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружности составляет 2/7 высоты, а периметр этого треугольника равен 56. Найдите его стороны.
AB и CD – две параллельные хорды, расположенные по разные
стороны от центра O окружности радиуса 15. AB = 18, CD = 24.
Две параллельные хорды AB и CD расположены по одну сторону от центра O окружности радиуса 30. AB = 48, CD = 36.
Страница: << 116 117 118 119 120 121 122 >> [Всего задач: 7526]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке