Каталог по источникам

Выбрано 14 задач

Длины двух сторон треугольника равны a, а длина третьей стороны равна b. Вычислите радиус его описанной окружности.

Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с боковой стороной AB пересекаются в точке P. Докажите, что центр O ее описанной окружности лежит на описанной окружности треугольника APB.

Решение

Пусть p = a_m10^m + a_m–110^m–1 + ... + a₀ – простое число, записанное в десятичной системе счисления. Докажите, что многочлен
P(x) = a_mx^m + a_m–1x^m–1 + ... + a₁x + a₀ неприводим над целыми числами.

Решение

Пусть H₁ и H₂ — две поворотные гомотетии. Докажите, что H₁oH₂ = H₂oH₁ тогда и только тогда, когда центры этих поворотных гомотетий совпадают.

Решение

Докажите, что h_a + h_b + h_c $\geq$ 9r.

Решение

Неравенство Иенсена. Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x₁, x₂, ..., x_n ( n $\geqslant$ 2) из [a;b] и любых положительных $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , ..., $\alpha_{n}^{}$ таких, что $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ +...+ $\alpha_{n}^{}$ = 1, выполняется неравенство:

f ( $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ x₁ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ x_n) > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ f (x₁) +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ f (x_n).

Решение

Две высоты треугольника больше 1. Докажите, что его площадь больше 1/2.

Решение

Из свойств сравнений следует, что с классами вычетов можно делать все операции, которые допустимы для целых чисел: складывать, вычитать, умножать, возводить в степень. Отличие будет лишь в том, что построенная арифметика действует на конечном множестве классов вычетов. Например, для m = 6 получаются такие таблицы сложения и умножения:

Постройте аналогичные таблицы сложения и умножения для модулей m = 7, 8, ..., 13.

Решение

На плоскости лежат три шайбы A, B и C. Хоккеист бьёт по одной из шайб так, чтобы она прошла между двумя другими и остановилась в некоторой точке. Могут ли все шайбы вернуться на свои места после25 ударов?

Решение

Докажите, что 20Rr - 4r² $\leq$ ab + bc + ca $\leq$ 4(R + r)².

Решение

Постройте треугольник ABC по: а) c, a - b (a > b) и углу C; б) c, a + b и углу C.

Решение

Докажите, что: а) l_a² + l_b² + l_c² $\leq$ p²; б) l_a + l_b + l_c $\leq$ $\sqrt{3}$ p.

Решение

Дан выпуклый многоугольник A₁...A_n. Докажите, что точка многоугольника, для которой максимальна сумма расстояний от нее до всех вершин, является вершиной.

Решение

Внутри треугольника ABC взята точка P так, что $\angle$ BPC = $\angle$ A + 60^o, $\angle$ APC = $\angle$ B + 60^o и $\angle$ APB = $\angle$ C + 60^o. Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A', B' и C'. Докажите, что треугольник A'B'C' правильный.

Решение

Задача 56555

Задача 56556

Задача 56557

Задача 56558

Задача 56559