Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 4. Площадь >> параграф 7. Формулы для площади четырехугольника
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Расстояния от точек A, B и P до прямой CD равны a, b и p. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD равна  ab . CD/2p.

Вниз   Решение

Автор: Сендеров В.А.


Существует ли такое число n , что числа
  а)  n – 96,  n,  n + 96;
  б)  n – 1996,  n,  n + 1996
простые? (Все простые числа считаем положительными.)

ВверхВниз   Решение

Точки K, L, M и N лежат на сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD, причем отрезки KM и LN параллельны сторонам параллелограмма. Эти отрезки пересекаются в точке O. Докажите, что площади параллелограммов KBLO и MDNO равны тогда и только тогда, когда точка O лежит на диагонали AC.

ВверхВниз   Решение

Внутри сектора AOB круга радиуса R = AO = BO лежит отрезок MN. Докажите, что MN $ \leq$ R или MN $ \leq$ AB. (Предполагается, что  $ \angle$AOB < 180o.)

ВверхВниз   Решение

На сторонах AB и BC треугольника ABC внешним образом построены параллелограммы; P — точка пересечения продолжений их сторон, параллельных AB и BC. На стороне AC построен параллелограмм, вторая сторона которого равна и параллельна BP. Докажите, что его площадь равна сумме площадей первых двух параллелограммов.

ВверхВниз   Решение

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos 2$ \alpha$ + cos 2$ \beta$ + cos 2$ \gamma$ + 4 cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$ + 1 = 0;
б)  cos2$ \alpha$ + cos2$ \beta$ + cos2$ \gamma$ + 2 cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$ = 1.
в) cos 2$ \alpha$ + cos 2$ \beta$ + cos 2$ \gamma$ = $ {\frac{OH^2}{2R^2}}$ - $ {\frac{3}{2}}$, где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

ВверхВниз   Решение

Существует ли правильный треугольник с вершинами в узлах целочисленной решетки?

ВверхВниз   Решение

Даны треугольник ABC со сторонами a > b > c и произвольная точка O внутри его. Пусть прямые  AO, BO, CO пересекают стороны треугольника в точках P, Q, R. Докажите, что  OP + OQ + OR < a.

ВверхВниз   Решение

На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата: ABCD, AB1C1D1 и  A2B2CD2; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите, что медиана BM треугольника BB1B2 перпендикулярна отрезку D1D2.

ВверхВниз   Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
sin 2$ \alpha$ + sin 2$ \beta$ + sin 2$ \gamma$ = 4 sin$ \alpha$sin$ \beta$sin$ \gamma$.

ВверхВниз   Решение

Внутри окружности расположен выпуклый пятиугольник. Докажите, что хотя бы одна из его сторон не больше стороны правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.

ВверхВниз   Решение

Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что эта прямая делит проекцию данного многоугольника на прямую, перпендикулярную l, в отношении, не превосходящем  1 + .

ВверхВниз   Решение

а) Через точку P проводятся всевозможные секущие окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности S, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей.
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AC и BD.

ВверхВниз   Решение

На сторонах CB и CD квадрата ABCD взяты точки M и K так, что периметр треугольника CMK равен удвоенной стороне квадрата.
Найдите величину угла MAK.

ВверхВниз   Решение

Детали полотна игрушечной железной дороги имеют форму четверти окружности радиуса R. Докажите, что последовательно присоединяя их концами так, чтобы они плавно переходили друг в друга, нельзя составить путь, у которого начало совпадает с концом, а первое и последнее звенья образуют тупик, изображенный на рис.


ВверхВниз   Решение

Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R, $ \varphi$ — угол между его диагоналями. Докажите, что площадь S четырехугольника ABCD равна  2R2sin A sin B sin$ \varphi$.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

  с решениями  

Задача 56793

Тема:   [ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 3
Классы: 9

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Расстояния от точек A, B и P до прямой CD равны a, b и p. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD равна  ab . CD/2p.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56794

Тема:   [ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 4
Классы: 9

Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса R, $ \varphi$ — угол между его диагоналями. Докажите, что площадь S четырехугольника ABCD равна  2R2sin A sin B sin$ \varphi$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56795

Тема:   [ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что площадь четырехугольника, диагонали которого не перпендикулярны, равна  tg$ \varphi$ . | a2 + c2 - b2 - d2|/4, где a, b, c и d — длины последовательных сторон, $ \varphi$ — угол между диагоналями.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56796

Тема:   [ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 6
Классы: 9

а) Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника ABCD вычисляется по формуле

S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d )- abcd cos2((B + D)/2),

где p — полупериметр, a, b, c, d — длины сторон.
б) Докажите, что если четырехугольник ABCD вписанный, то  S2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d ).
в) Докажите, что если четырехугольник ABCD описанный, то  S2 = abcd sin2((B + D)/2).
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .