Шестиугольник ABCDEF — вписанный, причём  AB || DE  и  BC || EF.  Докажите, что  CD || EF.

   Решение

a, b, c, d ≥ 0,  причём  c + d ≤ a,  c + d ≤ b.  Докажите, что  ad + bc ≤ ab.

   Решение

Существует ли в сутках момент, когда расположенные на общей оси часовая, минутная и секундная стрелки правильно идущих часов образуют попарно углы в 120°?

   Решение

Докажите, что любой выпуклый n-угольник, где n6, можно разрезать на выпуклые пятиугольники.

   Решение

Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами отрезков AA₁, BB₁ и CC₁, пересекаются в одной точке.

   Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 176]      

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами отрезков AA₁, BB₁ и CC₁, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Прямые A₁B₁ и A₁C₁ пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в точках C₂ и B₂ соответственно. Докажите, что AB₂ = AC₂.

Прислать комментарий

Решение

а) Пусть  , и  — произвольные углы, причем сумма любых двух из них меньше  180^o. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники  A₁BC, AB₁C и ABC₁, имеющие при вершинах A, B и C углы  , и . Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 176]