- Вводные задачи (4 задачи)
- параграф 1. Вписанная и описанная окружности (17 задач)
- параграф 2. Прямоугольные треугольники (10 задач)
- параграф 3. Правильный треугольник (7 задач)
- параграф 4. Треугольники с углами 60 и 120 градусов (7 задач)
- параграф 5. Целочисленные треугольники (6 задач)
- параграф 6. Разные задачи (21 задача)
- параграф 7. Теорема Менелая (16 задач)
- параграф 8. Теорема Чевы (20 задач)
- параграф 9. Прямая Симсона (15 задач)
- параграф 10. Подерный треугольник (8 задач)
- параграф 11. Прямая Эйлера и окружность девяти точек (10 задач)
- параграф 12. Точки Брокара (11 задач)
- параграф 13. Точка Лемуана (17 задач)
- Задачи для самостоятельного решения (7 задач)
Фильтр
Выбрано 4 задачи Убрать все задачи
Пусть x1, x2, ..., xn – некоторые числа, принадлежащие отрезку [0, 1].
Докажите, что на этом отрезке найдется такое число x, что
1/n (|x – x1| + |x – x2| + ... + |x – xn|) = ½.
Восстановите прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°) по вершинам A, C и точке на биссектрисе угла B .
Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке
Прямые AP, BP и CP пересекают стороны
треугольника ABC (или их продолжения) в точках A1, B1 и C1.
Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно
прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами
отрезков AA1, BB1 и CC1, пересекаются в одной точке.
Задачи Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 176]
Задача 108005 (#05.071.1) |
|
|
Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))
|
|
Решение |
Задача 56917 (#05.072) |
|
|
Докажите, что высоты остроугольного треугольника
пересекаются в одной точке.
|
|
|
Решение |
Задача 56918 (#05.073) |
|
|
Прямые AP, BP и CP пересекают стороны
треугольника ABC (или их продолжения) в точках A1, B1 и C1.
Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно
прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами
отрезков AA1, BB1 и CC1, пересекаются в одной точке.
|
|
Решение |
Задача 56919 (#05.074) |
|
|
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC
взяты точки A1, B1 и C1 так, что отрезки AA1, BB1 и CC1
пересекаются в одной точке. Прямые A1B1 и A1C1 пересекают
прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в
точках C2 и B2 соответственно. Докажите, что AB2 = AC2.
|
|
|
Решение |
Задача 56920 (#05.075) |
|
|
а) Пусть
,
и
— произвольные углы, причем
сумма любых двух из них меньше
180o. На сторонах
треугольника ABC внешним образом построены треугольники
A1BC, AB1C
и ABC1, имеющие при вершинах A, B и C углы
,
и
.
Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников,
построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.
|
|
|
Решение |
Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 176]
