Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Двое по очереди ставят коней в клетки шахматной доски так, чтобы кони не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

Вниз   Решение


Двое по очереди ставят крестики и нолики в клетки доски 9 × 9. Начинающий ставит крестики, его соперник - нолики. В конце подсчитывается, сколько имеется строчек и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов - это очки, набранные первым игроком. Количество строчек и столбцов, где ноликов больше - очки второго. Тот из игроков, кто наберет больше очков, побеждает.

ВверхВниз   Решение


Имеется две кучки спичек: а) 101 спичка и 201 спичка; б) 100 спичек и 201 спичка. За ход разрешается уменьшить количество спичек в одной из кучек на число, являющееся делителем количества спичек в другой кучке. Выигрывает тот, после чьего хода спичек не остается.

ВверхВниз   Решение


Двое по очереди ставят королей в клетки доски 9 × 9 так, чтобы короли не били друг друга. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство для натуральных  n > 1:  

ВверхВниз   Решение


D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC.

ВверхВниз   Решение


Найдите все простые числа, которые равны сумме двух простых чисел и разности двух простых чисел.

ВверхВниз   Решение


Дан выпуклый четырехугольник ABCD A1, B1, C1 и D1 — центры описанных окружностей треугольников  BCD, CDA, DAB и ABC. Аналогично для четырехугольника  A1B1C1D1 определяются точки  A2, B2, C2 и D2. Докажите, что четырехугольники ABCD и  A2B2C2D2 подобны, причем коэффициент их подобия равен  |(ctgA + ctgC)(ctgB + ctgD)/4|.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



Задача 57036

Темы:   [ Подобные фигуры ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
[ Преобразования подобия (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10

Четырехугольник ABCD выпуклый; точки  A1, B1, C1 и D1 таковы, что  AB||C1D1, AC||B1D1 и т. д. для всех пар вершин. Докажите, что четырехугольник  A1B1C1D1 тоже выпуклый, причем  $ \angle$A + $ \angle$C1 = 180o.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57037

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Подобные фигуры ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Из вершин выпуклого четырехугольника опущены перпендикуляры на диагонали. Докажите, что четырехугольник, образованный основаниями перпендикуляров, подобен исходному четырехугольнику.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57041

Тема:   [ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 9

О выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники  ABC, BCD, CDA и DAB, равны между собой. Докажите, что ABCD — прямоугольник.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57042

Тема:   [ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 9

Дан выпуклый четырехугольник ABCD A1, B1, C1 и D1 — центры описанных окружностей треугольников  BCD, CDA, DAB и ABC. Аналогично для четырехугольника  A1B1C1D1 определяются точки  A2, B2, C2 и D2. Докажите, что четырехугольники ABCD и  A2B2C2D2 подобны, причем коэффициент их подобия равен  |(ctgA + ctgC)(ctgB + ctgD)/4|.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57043

Тема:   [ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 9

Окружности, диаметрами которых служат стороны AB и CD выпуклого четырехугольника ABCD, касаются сторон CD и AB соответственно. Докажите, что BC| AD.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .