Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Через точку O пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая его стороны в точках M и N. Докажите, что  NO $ \leq$ 2MO.

Вниз   Решение


Можно ли замостить доминошками 1×2 шахматную доску 8×8, из которой вырезаны
  а) клеточки b3 и e7;
  б) два противоположных угловых поля (a1 и h8)?

ВверхВниз   Решение


На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD взяты соответственно точки P, Q, R и Sб  O – точка пересечения отрезков PR и QS.
Докажите,что если  AP : AB = DR : DC  и  AS : AD = BQ : BC,  то и  SO : SQ = AP : ABPQ : PR = AS : ;AD.

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство: |x1 + ... + xn| ≤ |x1| + ... + |xn|, где x1,..., xn — произвольные числа.

ВверхВниз   Решение


Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что  XA·BC = XB·AC = XC·ABI1, I2, I3 – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI1, BI2 и CI3 пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение


11 пионеров занимаются в пяти кружках дома культуры. Докажите, что найдутся два пионера А и В такие, что все кружки, которые посещает А, посещает и В.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC площади 1. Из вершины B опущен перпендикуляр BM на биссектрису угла C. Найдите площадь треугольника AMC.

ВверхВниз   Решение


Дано 11 различных натуральных чисел, не больших 20. Докажите, что из них можно выбрать два числа, одно из которых делится на другое.

ВверхВниз   Решение


Прямая, проходящая через вершину B треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке K, а описанную окружность в точке M.
Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников AMK.

ВверхВниз   Решение


На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD построены внутренним образом правильные треугольники ABK, BCL, CDM и DAN. Докажите, что середины сторон этих треугольников (не являющихся сторонами квадрата) и середины отрезков KL, LM, MN и NK образуют правильный двенадцатиугольник.

ВверхВниз   Решение


Пусть  f(x) = (x – a)(x – b)(x – c)  – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c.
Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.

ВверхВниз   Решение


Пусть  1 + x + x² + ... + xn–1 = F(x)G(x),  где F и G – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы  (n > 1).
Докажите, что один из многочленов F, G представим в виде  (1 + x + x² + ... + xk–1)T(x),  где T(x) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1  (k > 1).

ВверхВниз   Решение


Докажите, что при любых целых a и натуральном n выражение  (a + 1)2n+1 + an+2  делится на  a² + a + 1.

ВверхВниз   Решение


В остроугольном треугольнике ABC точка H – ортоцентр, O – центр описанной окружности, AA1, BB1 и CC1 – высоты. Точка C2 симметрична C относительно A1B1. Докажите, что H, O, C1 и C2 лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение


Вася шёл от дома до автобусной остановки пешком со скоростью 4 км/ч, затем ехал на автобусе до школы со скоростью 30 км/ч и затратил на весь путь 1 час. Обратно из школы он ехал на автобусе со скоростью 36 км/ч и шёл пешком от остановки до дома со скоростью 3 км/ч. На обратную дорогу он потратил 1 час 5 мин. Найти путь, который Вася проехал на автобусе, и расстояние от дома до остановки.

ВверхВниз   Решение


На плоскости даны два отрезка AB и A'B'. Постройте точку O так, чтобы треугольники AOB и A'OB' были подобны (одинаковые буквы обозначают соответственные вершины подобных треугольников).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 101]      



Задача 57260  (#08.062)

Тема:   [ Окружность Аполлония ]
Сложность: 5
Классы: 9

На плоскости даны два отрезка AB и A'B'. Постройте точку O так, чтобы треугольники AOB и A'OB' были подобны (одинаковые буквы обозначают соответственные вершины подобных треугольников).
Прислать комментарий     Решение


Задача 57261  (#08.063)

Тема:   [ Окружность Аполлония ]
Сложность: 5
Классы: 9

Точки A и B лежат на диаметре данной окружности. Проведите через них две равные хорды с общим концом.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57262  (#08.064)

Тема:   [ Построения (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

а) На параллельных прямых a и b даны точки A и B. Проведите через данную точку C прямую l, пересекающую прямые a и b в таких точках A1 и B1, что AA1 = BB1.
б) Проведите через точку C прямую, равноудаленную от данных точек A и B.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57263  (#08.065)

Тема:   [ Построения (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Постройте правильный десятиугольник.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57264  (#08.066)

Тема:   [ Построения (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

Постройте прямоугольник с данным отношением сторон, зная по одной точке на каждой из его сторон.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 101]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .