Сумма углов n-угольника. Докажите, что произвольный n-угольник (не обязательно выпуклый) можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями. Выведите отсюда, что сумма углов в произвольном n-угольнике равна (n - 2).

   Решение

При каких n многочлен  1 + x² + x⁴ + ... + x^2n–2  делится на  1 + x + x² + ... + x^n–1?

   Решение

Докажите, что для любого натурального n  2⁵ⁿ⁺³ + 5ⁿ·3ⁿ⁺²  делится на 17.

   Решение

На сколько частей делят пространство n плоскостей "общего положения"? И что это за "общее положение"?

   Решение

Пусть m₁(x), ..., m_n(x) – попарно взаимно простые многочлены, a₁(x), ..., a_n(x) – произвольные многочлены.
Докажите, что существует ровно один такой многочлен p(x), что
    p(x) ≡ a₁(x) (mod m₁(x)),
      ...
    p(x) ≡ a_n(x) (mod m_n(x))
и  deg p(x) < deg m₁(x) + ... + deg m_n(x).

   Решение

Многочлен P(x) дает остаток 2 при делении на  x – 1,  и остаток 1 при делении на  x – 2.
Какой остаток дает P(x) при делении на многочлен  (x – 1)(x – 2)?

   Решение

Многоугольник имеет центр симметрии O. Докажите, что сумма расстояний до вершин минимальна для точки O.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      

Трапеция ABCD с основанием AD разрезана диагональю AC на два треугольника. Прямая l, параллельная основанию, разрезает эти треугольники на два треугольника и два четырехугольника. При каком положении прямой l сумма площадей полученных треугольников минимальна?

Прислать комментарий

Решение

Площадь трапеции равна 1. Какую наименьшую величину может иметь наибольшая диагональ этой трапеции?

Прислать комментарий

Решение

На основании AD трапеции ABCD дана точка K. Найдите на основании BC точку M, для которой площадь общей части треугольников AMD и BKC максимальна.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что среди всех четырехугольников с фиксированными длинами сторон наибольшую площадь имеет вписанный четырехугольник.

Прислать комментарий

Решение

Многоугольник имеет центр симметрии O. Докажите, что сумма расстояний до вершин минимальна для точки O.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]