Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 13. Векторы >> параграф 5. Вспомогательные проекции
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что при параллельном переносе окружность переходит в окружность.

Вниз   Решение

Точка X лежит внутри треугольника ABC, $ \alpha$ = SBXC, $ \beta$ = SCXA и  $ \gamma$ = SAXB. Пусть A1, B1 и C1 — проекции точек A, B и C на произвольную прямую l. Докажите, что длина вектора $ \alpha$$ \overrightarrow{AA_1}$ + $ \beta$$ \overrightarrow{BB_1}$ + $ \gamma$$ \overrightarrow{CC_1}$ равна ($ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$)d, где d — расстояние от точки X до прямой l.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что кривая, изогонально сопряженная прямой, не проходящей через вершины треугольника, является коникой, проходящей через вершины треугольника.

ВверхВниз   Решение

Постройте окружность, касающуюся трех данных окружностей (задача Аполлония).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что множество точек, равноудаленных от данной точки и данной окружности, представляет собой эллипс, гиперболу или луч.

ВверхВниз   Решение

Пусть a = (a1, a2) и  b = (b1, b2). Докажите, что a $ \vee$ b = a1b2 - a2b1.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что множество всех центров окружностей, проходящих через данную точку и касающихся данной окружности (или прямой), не содержащей данную точку, представляет собой эллипс или гиперболу (или параболу).

ВверхВниз   Решение

На плоскости даны прямая l и точки A и B, лежащие по разные стороны от нее. Постройте окружность, проходящую через точки A и B так, чтобы прямая l высекала на ней хорду наименьшей длины.

ВверхВниз   Решение

Даны прямая l и точки P и Q, лежащие по одну сторону от нее. На прямой l берем точку M и в треугольнике PQM проводим высоты PP' и QQ'. При каком положении точки M длина отрезка P'Q' минимальна?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что:
а) ($ \lambda$a) $ \vee$ b = $ \lambda$(a $ \vee$ b);
б) a $ \vee$ (b + c) = a $ \vee$ b + a $ \vee$ c.

ВверхВниз   Решение

Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности треугольника ABC, Z и r — центр и радиус его вписанной окружности; K — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника ABC. Докажите, что точка Z лежит на отрезке OK, причем OZ : ZK = 3R : r.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

  с решениями  

Задача 57717

Тема:   [ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 3
Классы: 9

Точка X лежит внутри треугольника ABC, $ \alpha$ = SBXC, $ \beta$ = SCXA и  $ \gamma$ = SAXB. Пусть A1, B1 и C1 — проекции точек A, B и C на произвольную прямую l. Докажите, что длина вектора $ \alpha$$ \overrightarrow{AA_1}$ + $ \beta$$ \overrightarrow{BB_1}$ + $ \gamma$$ \overrightarrow{CC_1}$ равна ($ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$)d, где d — расстояние от точки X до прямой l.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57718

Тема:   [ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 5
Классы: 9

Выпуклый 2n-угольник A1A2...A2n вписан в окружность радиуса 1. Докажите, что

|$\displaystyle \overrightarrow{A_1A_2}$ + $\displaystyle \overrightarrow{A_3A_4}$ +...+ $\displaystyle \overrightarrow{A_{2n-1}A_{2n}}$|$\displaystyle \le$2.


Прислать комментарий     Решение

Задача 57719

Тема:   [ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 5
Классы: 9

Пусть a1, a2, ..., a2n + 1 — векторы длины 1. Докажите, что в сумме c = ±a1±a2±...±a2n + 1 знаки можно выбрать так, что |c|$ \le$1.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57720

Тема:   [ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 5+
Классы: 9

Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, na, nb и  nc — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что

a3na + b3nb + c3nc = 12S . $\displaystyle \overrightarrow{MO}$,

где S — площадь, M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57721

Тема:   [ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 5+
Классы: 9

Пусть O и R — центр и радиус описанной окружности треугольника ABC, Z и r — центр и радиус его вписанной окружности; K — точка пересечения медиан треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника ABC. Докажите, что точка Z лежит на отрезке OK, причем OZ : ZK = 3R : r.
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .