Каталог по источникам

Выбрано 9 задач

В прямоугольник ABCD вписаны два различных прямоугольника, имеющих общую вершину K на стороне AB. Докажите, что сумма их площадей равна площади прямоугольника ABCD.

Решение

В треугольник T_a = $\triangle$ A₁A₂A₃ вписан треугольник T_b = $\triangle$ B₁B₂B₃, а в треугольник T_b вписан треугольник T_c = $\triangle$ C₁C₂C₃, причем стороны треугольников T_a и T_c параллельны. Выразите площадь треугольника T_b через площади треугольников T_a и T_c.

Решение

Пусть a, b и c — длины сторон треугольника ABC, n_a, n_b и n_c — векторы единичной длины, перпендикулярные соответствующим сторонам и направленные во внешнюю сторону. Докажите, что

a³n_a + b³n_b + c³n_c = 12S^. $\displaystyle \overrightarrow{MO}$ ,

где S — площадь, M — точка пересечения медиан, O — центр описанной окружности треугольника ABC.

Решение

а) Докажите, что расстояния от любой точки параболы до фокуса и до директрисы равны.
б) Докажите, что множество точек, для которых расстояния до некоторой фиксированной точки и до некоторой фиксированной прямой равны, является параболой.

Решение

В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку (см. задачу 3.44).

Решение

Радиусы двух окружностей равны R и r, а расстояние между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности пересекаются тогда и только тогда, когда | R - r| < d < R + r.

Решение

Постройте окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной окружности (или прямой).

Решение

Докажите, что окружность девяти точек треугольника ABC, вершины которого лежат на равнобочной гиперболе, проходит через центр O гиперболы.

Решение

По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Решение

Задача 57730

Задача 57731

Задача 57732

Задача 57733

Задача 57734