Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 60]

Задача 57762 (#14.014)

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 6
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в точке P. Пусть l_a, l_b, l_c — прямые, соединяющие середины отрезков BC и B₁C₁, CA и C₁A₁, AB и A₁B₁. Докажите, что прямые l_a, l_b и l_c пересекаются в одной точке, причем эта точка лежит на отрезке PM, где M — центр масс треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 57763 (#14.015)

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 6
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁; прямые B₁C₁, BB₁ и CC₁ пересекают прямую AA₁ в точках M, P и Q соответственно. Докажите, что:
а) A₁M/MA = (A₁P/PA) + (A₁Q/QA);
б) если P = Q, то MC₁ : MB₁ = (BC₁/AB) : (CB₁/AC).

Прислать комментарий Решение

Задача 57764 (#14.016)

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 6
Классы: 9

На прямой AB взяты точки P и P₁, а на прямой AC взяты точки Q и Q₁. Прямая, соединяющая точку A с точкой пересечения прямых PQ и P₁Q₁, пересекает прямую BC в точке D. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{\overline{BD}}{\overline{CD}}}$ = $\displaystyle {\frac{(\overline{BP}/\overline{PA})-(\overline{BP_1}/ \overline{P_1A})}{(\overline{CQ}/\overline{QA})-(\overline{CQ_1}/\overline{Q_1A})}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 57765 (#14.017)

Тема:

[

Момент инерции

]

Сложность: 3
Классы: 9

Пусть O — центр масс системы точек, суммарная масса которой равна m. Докажите, что моменты инерции этой системы относительно точки O и произвольной точки X связаны соотношением I_X = I_O + mXO².

Прислать комментарий Решение

Задача 57766 (#14.018)

Тема:

[

Момент инерции

]

Сложность: 3
Классы: 9

а) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с единичными массами равен ${\frac{1}{n}}$ $\sum\limits_{i<j}^{}$ a_ij², где n — число точек, a_ij — расстояние между точками с номерами i и j.
б) Докажите, что момент инерции относительно центра масс системы точек с массами m₁,..., m_n, равен ${\frac{1}{m}}$ $\sum\limits_{i<j}^{}$ m_im_ja_ij², где m = m₁ +...+ m_n, a_ij — расстояние между точками с номерами i и j.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 60]