Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 18. Поворот
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 25 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

а) В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Прямые AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1 пересекаются в точках C', A' и B'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на радикальной оси окружности девяти точек и описанной окружности.
б) Биссектрисы внешних углов треугольника ABC пересекают продолжения противоположных сторон в точках A', B' и C'. Докажите, что точки A', B' и C' лежат на одной прямой, причем эта прямая перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

Вниз   Решение

Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).

ВверхВниз   Решение

Даны окружность S и прямая l, не имеющие общих точек. Из точки P, движущейся по прямой l, проводятся касательные PA и PB к окружности S. Докажите, что все хорды AB имеют общую точку.



ВверхВниз   Решение

Некоторое количество точек расположено на плоскости так, что каждые 3 из них можно заключить в круг радиуса r = 1. Доказать, что тогда и все точки можно заключить в круг радиуса 1.

ВверхВниз   Решение

На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A1 и B1; l — прямая, проходящая через общие точки окружностей с диаметрами AA1 и BB1. Докажите, что:
а) прямая l проходит через точку H пересечения высот треугольника ABC;
б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C, когда  AB1 : AC = BA1 : BC.

ВверхВниз   Решение

Автор: Емельянов Л.А.

Докажите, что сумма двух нагелиан больше полупериметра треугольника.

ВверхВниз   Решение

Найти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа a, b, c, чтобы выражение  x(x – a)(x – b)(x – c) + 1  разлагалось в произведение двух многочленов (ненулевой степени) с целыми коэффициентами.

ВверхВниз   Решение

Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла.

ВверхВниз   Решение

Решите задачу 1.67, используя свойства радикальной оси.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального n в n-м члене подчёркнутые цифры образовали число n). Докажите, что разность прогрессии – степень числа 10.

ВверхВниз   Решение

У равнобедренного треугольника стороны равны 3 и 7. Какая из сторон является основанием?

ВверхВниз   Решение

Сумма вычитаемого, уменьшаемого и разности равна 2016. Найдите уменьшаемое.

ВверхВниз   Решение

Даны две неконцентрические окружности S1 и S2. Докажите, что множеством центров окружностей, пересекающих обе эти окружности под прямым углом, является их радикальная ось, из которой (если данные окружности пересекаются) выброшена их общая хорда.

ВверхВниз   Решение

Пусть углы $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ таковы, что 0 < $ \alpha$,$ \beta$,$ \gamma$ < $ \pi$ и  $ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$ = $ \pi$. Докажите, что если композиция поворотов RC2$\scriptstyle \gamma$oRB2$\scriptstyle \beta$oRA2$\scriptstyle \alpha$ является тождественным преобразованием, то углы треугольника ABC равны $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$.

ВверхВниз   Решение

Пусть связный плоский граф с V вершинами и E рёбрами разрезает плоскость на F кусков. Докажите формулу Эйлера:  V – E + F = 2.

ВверхВниз   Решение

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABO1, BCO2, CDO3 и DAO4. Докажите, что если O1 = O3, то O2 = O4.

ВверхВниз   Решение

При каких a многочлен  P(x) = a³x5 + (1 – a)x4 + (1 + a³)x² + (1 – 3a)x – a³  делится на  x – 1?

ВверхВниз   Решение

Автор: Женодаров Р.Г.

В ряд стоят 23 коробочки с шариками, причём для каждого числа n от 1 до 23 есть коробочка, в которой ровно n шариков. За одну операцию можно переложить в любую коробочку еще столько же шариков, сколько в ней уже есть, из какой-нибудь другой коробочки, в которой шариков больше. Всегда ли можно такими операциями добиться, чтобы в первой коробочке оказался 1 шарик, во второй – 2 шарика, ..., в 23-й – 23 шарика?

ВверхВниз   Решение

а) В графе есть эйлеров путь. Доказать, что граф связен и вершин с нечётной степенью в нём не больше двух.
б) Доказать обратное: если в связном графе вершин с нечётной степенью не больше двух, то в нём есть эйлеров путь.

ВверхВниз   Решение

Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько попарно непересекающихся кругов различных радиусов. Докажите, что многоугольник можно разрезать на маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что из 5 попарно различных по величине квадратов нельзя сложить прямоугольник.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Сгибнев А.И., Заславский А.А.

Дан эллипс Γ и его хорда AB. Найдите геометрическое место ортоцентров вписанных в Γ треугольников ABC.

ВверхВниз   Решение

По арене цирка, являющейся кругом радиуса 10 м, бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов его поворотов не меньше 2998 радиан.

ВверхВниз   Решение

Автор: Ивлев Ф.

Трапеция с основаниями AB и CD вписана в окружность с центром O. Из точки A к описанной окружности треугольника CDO проведены касательные AP и AQ. Докажите, что описанная окружность треугольника APQ проходит через середину основания AB.

ВверхВниз   Решение

На сторонах треугольника ABC построены правильные треугольники A'BC и B'AC внешним образом, C'AB — внутренним, M — центр треугольника C'AB. Докажите, что A'B'M — равнобедренный треугольник, причем $ \angle$A'MB' = 120o.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 53]      

  с решениями  

Задача 57959  (#18.037)

Тема:   [ Композиции поворотов ]
Сложность: 4
Классы: 9

Внутри выпуклого четырехугольника ABCD построены равнобедренные прямоугольные треугольники ABO1, BCO2, CDO3 и DAO4. Докажите, что если O1 = O3, то O2 = O4.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57960  (#18.038)

Тема:   [ Композиции поворотов ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) На сторонах произвольного треугольника внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что их центры образуют правильный треугольник.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных внутренним образом.
в) Докажите, что разность площадей правильных треугольников, полученных в задачах а) и б), равна площади исходного треугольника.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57961  (#18.039)

Тема:   [ Композиции поворотов ]
Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах треугольника ABC построены правильные треугольники A'BC и B'AC внешним образом, C'AB — внутренним, M — центр треугольника C'AB. Докажите, что A'B'M — равнобедренный треугольник, причем $ \angle$A'MB' = 120o.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57962  (#18.040)

Тема:   [ Композиции поворотов ]
Сложность: 5
Классы: 9

Пусть углы $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ таковы, что 0 < $ \alpha$,$ \beta$,$ \gamma$ < $ \pi$ и  $ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$ = $ \pi$. Докажите, что если композиция поворотов RC2$\scriptstyle \gamma$oRB2$\scriptstyle \beta$oRA2$\scriptstyle \alpha$ является тождественным преобразованием, то углы треугольника ABC равны $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57963  (#18.041)

Тема:   [ Композиции поворотов ]
Сложность: 5+
Классы: 9

Постройте n-угольник, если известны n точек, являющихся вершинами равнобедренных треугольников, построенных на сторонах этого n-угольника и имеющих при вершинах углы $ \alpha_{1}^{}$,...,$ \alpha_{n}^{}$.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 53]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .