Версия для печати
Убрать все задачи

---

  а) Выбраны 6 различных цветов; требуется раскрасить 6 граней куба, каждую в особый цвет из числа избранных. Сколькими геометрически различными способами можно это сделать? Геометрически различными называются две такие расцветки, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.
  б) Решить ту же задачу для случая раскраски граней додекаэдра в 12 различных цветов.

   Решение

---

Докажите, что из любых шести четырёхзначных чисел, взаимно простых в совокупности, всегда можно выбрать пять чисел, также взаимно простых в совокупности.

   Решение

---

Во входном файле записано равенство вида A = B, где A и B – это выражения, содержащие сколь угодно длинные целые числа и знаки операций +, - (бинарный и унарный) и *. Выражения не содержат скобок. Требуется проверить выполнение заданного равенства и вывести в выходной файл результат проверки в форме «Да, выполняется» или «Нет, не выполняется».
Длина входного файла данных не превосходит 60 килобайт. Числа и знаки операций в выражении могут разделяться пробелами и/или символами перевода строки.

Пример входного файла
2
                * 43 = 86

Пример выходного файла
Да, выполняется

   Решение

---

Для всякого ли натурального n можно расставить первые n натуральных чисел в таком порядке, чтобы ни для каких двух чисел их полусумма не равнялась ни одному из чисел, расположенных между ними?

   Решение

---

а) Найдите число всех полученных фигур.
б) Найдите число ограниченных фигур, т. е. многоугольников.

   Решение

---

На отрезке длиной 1 закрашено несколько отрезков, причем расстояние между любыми двумя закрашенными точками не равно 0, 1. Докажите, что сумма длин закрашенных отрезков не превосходит 0, 5.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79361  (#21.016)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Окружность, вписанная в угол ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Правильные многоугольники ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На плоскости отмечена точка O. Можно ли так расположить на плоскости:  а) 5 кругов;   б) 4 круга, не покрывающих точку O, чтобы каждый луч с началом в точке O пересекал не менее двух кругов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58096  (#21.017)

Темы:   [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Внутри окружности радиуса n расположено 4n отрезков длиной 1. Докажите, что можно провести прямую, параллельную или перпендикулярную данной прямой l и пересекающую по крайней мере два данных отрезка.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58097  (#21.018)

Темы:   [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10.
Докажите, что найдётся прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58098  (#21.019)

Темы:   [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

На отрезке длиной 1 закрашено несколько отрезков, причем расстояние между любыми двумя закрашенными точками не равно 0, 1. Докажите, что сумма длин закрашенных отрезков не превосходит 0, 5.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58099  (#21.020)

Темы:   [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 6- Классы: 8,9,10,11

Даны две окружности, длина каждой из которых равна 100 см. На одной из них отмечено 100 точек, а на другой — несколько дуг, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями