Версия для печати
Убрать все задачи

---

Сумма и произведение двух чисто периодических десятичных дробей – чисто периодические дроби с периодом T.
Докажите, что исходные дроби имеют периоды не больше T.

   Решение

---

На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся отрезки, сумма длин которых равна p. Обозначим эту систему отрезков A. Пусть B — дополнительная система отрезков (отрезки систем A и B не имеют общих внутренних точек и полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует параллельный перенос T, для которого пересечение B и T(A) состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше p(1 - p)/2.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 58105  (#21.026)

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Площадь круга, сектора и сегмента ] [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]

Сложность: 6- Классы: 8,9,10

В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдется кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежит не менее 10 из данных точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58106  (#21.027)

Темы:   [ Формула включения-исключения ] [ Сочетания и размещения ] [ Перегруппировка площадей ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На плоскости дано n фигур. Пусть S_i1...ik – площадь пересечения фигур с номерами i₁, ..., i_k, a S – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; M_k – сумма всех чисел S_i1...ik. Докажите, что:
  а)  S = M₁ – M₂ + M₃ – ... + (–1)^{n + 1}M_n;
  б)  S ≥ M₁ - M₂ + M₃ – ... + (–1)^{m + 1}M_m   при m чётном и
       S ≤ M₁ – M₂ + M₃ – ... + (–1)^{m + 1}M_m   при m нечётном.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58107  (#21.028)

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Формула включения-исключения ] [ Сочетания и размещения ] [ Перегруппировка площадей ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

   а) В квадрате площади 6 расположены три многоугольника площади 3. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше 1.
   б) В квадрате площади 5 расположено девять многоугольников площади 1. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше ¹/₉.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60445  (#21.029 (пункт б))

Темы:   [ Формула включения-исключения ] [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся
  а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ³/₂₀;
  б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ⅕;
  в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше ¹/₂₀.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58109  (#21.029.1)

Темы:   [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ] [ Свойства параллельного переноса ] [ Площадь параллелограмма ] [ Покрытия ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]

Сложность: 6+ Классы: 9,10,11

На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся отрезки, сумма длин которых равна p. Обозначим эту систему отрезков A. Пусть B — дополнительная система отрезков (отрезки систем A и B не имеют общих внутренних точек и полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует параллельный перенос T, для которого пересечение B и T(A) состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше p(1 - p)/2.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями