Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]

Задача 58105 (#21.026)

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Площадь круга, сектора и сегмента	]
	[	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой	]

Сложность: 6-
Классы: 8,9,10

В круге радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдется кольцо с внутренним радиусом 2 и внешним радиусом 3, в котором лежит не менее 10 из данных точек.

Прислать комментарий Решение

Задача 58106 (#21.027)

Темы:	[	Формула включения-исключения	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Индукция в геометрии	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На плоскости дано n фигур. Пусть S_{i₁...i_k} – площадь пересечения фигур с номерами i₁, ..., i_k, a S – площадь части плоскости, покрытой данными фигурами; M_k – сумма всех чисел S_{i₁...i_k}. Докажите, что:
а) S = M₁ – M₂ + M₃ – ... + (–1)^{n + 1}M_n;
б) S ≥ M₁ - M₂ + M₃ – ... + (–1)^{m + 1}M_m при m чётном и
S ≤ M₁ – M₂ + M₃ – ... + (–1)^{m + 1}M_m при m нечётном.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58107 (#21.028)

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Формула включения-исключения	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3
Классы: 9,10

а) В квадрате площади 6 расположены три многоугольника площади 3. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше 1.
б) В квадрате площади 5 расположено девять многоугольников площади 1. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше ¹/₉.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60445 (#21.029 (пункт б))

Темы:	[	Формула включения-исключения	]
	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

В прямоугольнике площади 1 расположено пять фигур площади ½ каждая. Докажите, что найдутся
а) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ³/₂₀;
б) две фигуры, площадь общей части которых не меньше ⅕;
в) три фигуры, площадь общей части которых не меньше ¹/₂₀.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58109 (#21.029.1)

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Свойства параллельного переноса	]
	[	Площадь параллелограмма	]
	[	Покрытия	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся отрезки, сумма длин которых равна p. Обозначим эту систему отрезков A. Пусть B — дополнительная система отрезков (отрезки систем A и B не имеют общих внутренних точек и полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует параллельный перенос T, для которого пересечение B и T(A) состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше p(1 - p)/2.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 [Всего задач: 30]