Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На стороне AB четырехугольника ABCD взяты точки A1 и B1, а на стороне CD — точки C1 и D1, причем  AA1 = BB1 = pAB и  CC1 = DD1 = pCD, где p < 0, 5. Докажите, что  SA1B1C1D1/SABCD = 1 - 2p.

Вниз   Решение


а) Докажите, что отношение расстояний от точки эллипса до фокуса и до одной из директрис равно эксцентриситету e.
б) Даны точка F и прямая l. Докажите, что множество точек X, для которых отношение расстояния от X до F к расстоянию от X до l равно постоянному числу e < 1, — эллипс.

ВверхВниз   Решение


Квадрат разделен на четыре части двумя перпендикулярными прямыми, точка пересечения которых лежит внутри его. Докажите, что если площади трех из этих частей равны, то равны и площади всех четырех частей.

ВверхВниз   Решение


Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Диагонали AD, BE и CF являются диаметрами этой окружности. Докажите, что площадь шестиугольника ABCDEF равна удвоенной площади треугольника ACE.

ВверхВниз   Решение


Даны окружность и две точки A и B внутри ее. Впишите в окружность прямоугольный треугольник так, чтобы его катеты проходили через данные точки.

ВверхВниз   Решение


Никакие три из четырех точек A, B, C, D не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными окружностями треугольников ABC и ABD равен углу между описанными окружностями треугольников ACD и BCD.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  $ {\frac{1}{ab}}$ + $ {\frac{1}{bc}}$ + $ {\frac{1}{ca}}$ = $ {\frac{1}{2Rr}}$.

ВверхВниз   Решение


Даны два треугольника ABC и A1B1C1. Известно, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке O, и прямые AB1, BC1 и CA1 пересекаются в одной точке O1. Докажите, что прямые AC1, BA1 и CB1 тоже пересекаются в одной точке O2 (теорема о дважды перспективных треугольниках).

ВверхВниз   Решение


На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата: ABCD, AB1C1D1 и  A2B2CD2; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите, что медиана BM треугольника BB1B2 перпендикулярна отрезку D1D2.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  ha/la $ \geq$ $ \sqrt{2r/R}$.

ВверхВниз   Решение


Постройте треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведенным из одной вершины.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  $ {\frac{2}{h_a}}$ = $ {\frac{1}{r_b}}$ + $ {\frac{1}{r_c}}$.

ВверхВниз   Решение


Пусть  a $ \leq$ b $ \leq$ c. Докажите, что тогда  ha + hb + hc $ \leq$ 3b(a2+ac+c2)/(4pR).

ВверхВниз   Решение


Детали полотна игрушечной железной дороги имеют форму четверти окружности радиуса R. Докажите, что последовательно присоединяя их концами так, чтобы они плавно переходили друг в друга, нельзя составить путь, у которого начало совпадает с концом, а первое и последнее звенья образуют тупик, изображенный на рис.


Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 41]      



Задача 58180  (#23.020)

Тема:   [ Шахматная раскраска ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

В каждой клетке доски 5×5 клеток сидит жук. В некоторый момент все жуки переползают на соседние (по горизонтали или вертикали) клетки. Обязательно ли при этом останется пустая клетка?
Прислать комментарий     Решение


Задача 58181  (#23.021)

Тема:   [ Шахматная раскраска ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

а) Можно ли замостить костями домино размером 1×2 шахматную доску размером 8×8, из которой вырезаны два противоположных угловых поля?
б) Докажите, что если из шахматной доски размером 8×8 вырезаны две произвольные клетки разного цвета, то оставшуюся часть доски всегда можно замостить костями домино размером 1×2.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58182  (#23.022)

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Замощения костями домино и плитками ]
[ Шахматная раскраска ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Докажите, что доску размером 10×10 клеток нельзя разрезать на фигурки в форме буквы T, состоящие из четырёх клеток.

Прислать комментарий     Решение

Задача 58183  (#23.023)

Тема:   [ Шахматная раскраска ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Детали полотна игрушечной железной дороги имеют форму четверти окружности радиуса R. Докажите, что последовательно присоединяя их концами так, чтобы они плавно переходили друг в друга, нельзя составить путь, у которого начало совпадает с концом, а первое и последнее звенья образуют тупик, изображенный на рис.


Прислать комментарий     Решение

Задача 79240  (#23.024)

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Подсчет двумя способами ]
[ Метод координат на плоскости ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Автор: Ионин Ю.И.

В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик A прыгает через кузнечика B, то после прыжка он оказывается от B на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 41]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .